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2014-02-16T14:22:19-03:00
A primeira coisa a se fazer aqui é colocar todos os termos como uma soma de a_1 e r. Usando a fórmula do termo geral, a_n = a_1 + r(n-1), encontramos que a_2 = a_1 + r, a_4 = a_1 + 3r e que a_5 = a_1 + 4r. Agora vamos substituir esses valores nas equações acima:

 2a_1 + a_2 = -1 \Rightarrow 2a_1 + a_1 + r = -1 \Rightarrow \underline{3a_1 + r = -1} \\ 3a_4 - a_5 = 21 \Righarrow 3(a_1 + 3r) - (a_1 + 4r) = 21 \Rightarrow 3a_1 + 9r - a_1 - 4r = 21 \Rightarrow \\ \Rightarrow \underline{2a_1 + 5r = 21}

Temos, então, um sistema para resolver (as duas equações dele são as que estão sublinhadas). Resolvendo-o encontramos que r=5 e a_1=-2.
Agora temos que calcular a soma propriamente dita. Para se calcular a soma dos n primeiros termos de uma PA existem duas fórmulas:

1- \ S_n = n.a_1 + \frac{r.n(n-1)}{2} \\ 2- \ S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}

Vou usar a 1, pois já temos r e a_1. Substituindo os valores temos:

S_{n} = -2n + \frac{5n(n-1)}{2} \Rightarrow S_{80} = -2.80 + \frac{5.80.79}{2} \Rightarrow S_{80} = -160 + 15800 \\ \boxed{\boxed{S_{80} = 15640}}
2 5 2