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2014-02-23T23:40:21-03:00

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Quando i tem um expoente muito elevado, podemos dividir esse expoente por 4, tomando o resto da divisão como o novo expoente de i

(a - b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\\(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\\\\(a^{x})^{y}<=>a^{x*y}
_____________________________

a)

(1 - i)^{2}=1^{2}-2*1*i + i^{2}\\(1 - i)^{2} = 1 - 2i - 1\\(1 - i)^{2} = - 2i

b)

(1 + i)^{1024} = [(1 + i)^{2}]^{512}

(1 + i)^{2} = 1^{2} + 2*1*i + i^{2}\\(1 + i)^{2}=1 + 2i - 1\\(1 + i)^{2} = 2i

[(1 + i)^{2}]^{512}=[2i]^{512}
[(1 + i)^{2}]^{512}=2^{512}*i^{512}

512\div 4 = 128 + 0~resto

i^{512}=i^{0}=1

[(1 + i)^{2}]^{512}=2^{512}*1
[(1 + i)^{2}]^{512}=2^{512}

c)

i^{236} + i^{259} + i^{526} + i^{855}

236\div 4 =59+0~resto\\259\div4=64+3~resto\\526\div4=131+2~resto\\855\div4=213+3~resto

i^{236}=i^{0}=1\\i^{529}=i^{3}=i^{2}*i=(-1)*i=-i\\i^{526}=i^{2}=-1\\i^{855}=i^{3}=-i

i^{236} + i^{259} + i^{526} + i^{855}=1-i-1-i\\i^{236} + i^{259} + i^{526} + i^{855}=-2i
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