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2014-02-26T02:42:50-03:00
Seja o número n = a_m \ldots a_2a_1a_0 um número escrito na base k e cada um dos  a_i um algarismo (lembrando que a_i \in \{ 0, 1,2,\ldots , k-1 \} quando estamos falando de algarismos). Temos que n = k^0a_0 + k^1a_1 + k^2a_2+\ldots 
+k^ma_m. Considerando a base como desconhecida temos:

1cc = 1.k² + c.k + c => 1cc = k² + c(k+1)
bb3 = b.k² + b.k + 3 => bb3 = 3 + bk(k+1)
aadd = a.k³ + a.k² + d.k + d => aadd = ak²(k+1) + d(k+1)

Substituindo isso na igualdade temos que:

(k+1)(bk+c) + (k²+3) = (k+1)(ak²+d)  *

Como todo mundo aí tem que ser natural temos que k+1 tem que dividir k²+3 = k²+2k+1+2(1-k). Daí:

 \frac{(k+1)^2-2(k-1)}{k+1} = t, \ t \in \mathbb{Z} \\ \\ k+1- \frac{2(k-1)}{k+1} = t

Fazendo k+1 = j temos que k-1 = j-2. Daí:

j - \frac{2(j-2)}{j} = t \Rightarrow j - \frac{2j-4}{j} = t \Rightarrow j-2 + \frac{4}{j} = t

Portanto, para que t seja inteiro, e k+1 dividir k²+3, temos que j=1, 2 ou 4; caso contrário t seria racional, k+1 não dividiria k²+3 e não encontraríamos algarismos. Daí os possíveis valores de k, a base, são k=0, 1 ou 3, porém desses só convém k=3.

Por causa do fato de k=3 temos que bb3 tem que ser reescrito como b(b+1)0, já que 3 não é um algarismo da base 3.
Independente da base temos que 0+c=c, daí, observando as unidades dos números em ambos os membros da igualdade, temos que c=d. Usando isso em * temos:

4(3b+c) + 12 = 4(9a+d) => 3b+c + 3 = 9a+c => 3a = b+1

Então a única possibilidade para a e b para que ambos sejam algarismos da base 3 é a=1 e b=2, enquanto que c=d=0, 1 ou 2.
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Só por curiosidade Felipe Queiroz: você tem 11 anos e está no sexto ano do ensino fundamental II? Porque essa foi uma questão que caiu na prova do sexto ano da minha filha. Ela iria conseguir resolver?
Errr... muito provavelmente não. A intenção da pessoa é pensar em resolver a questão na base 10, a base que usamos no dia-a-dia. Bases numéricas são, geralmente, vistas no 8º, 9º ano e as contas que fiz pra encontrar a base foram artifícios não muito visíveis...
Sem contar que usei um pouco do conhecimento que ganhei na faculdade, então acho altamente improvável que alguém do 6º ano resolva...
Acabei de rever a resposta: usei só em uma passagem o que aprendi na faculdade, mas mesmo assim, essa questão não é fácil
Muitíssimo obrigada Felipe por toda a sua atenção. Virei sua fã.