Respostas

2014-02-27T19:05:29-03:00
Duas coisas sobre quadrados:
1- As diagonais se cortam no ponto médio;
2- As diagonais são perpendiculares e têm o mesmo comprimento.
Dito isto vamos resolver a questão.

Note que os pontos A e B possuem a mesma coordenada x, isso quer dizer que o segmento AB é paralelo ao eixo y; por causa disso teremos que a diagonal CD será paralela ao eixo x, ou seja, C e D, os outros dois vértices, terão o mesmo valor da coordenada y. Como as duas diagonais se cruzam no ponto médio, chamado M, teremos que M está no segmento CD, ou seja, o valor da coordenada y será o mesmo para C, D e M.

Como AB é paralelo ao eixo y é fácil calcular o seu comprimento: temos que AB = 4. Por causa disso também temos que CD = 4 (por causa do número 2 no começo da questão), e mais: como M é ponto médio de CD temos que CM = 2 e MD = 2.
Depois desses argumentos vamos para as contas.

Como M é ponto médio de AB podemos calcular facilmente suas coordenadas:

y_M= \frac{y_A+y_B}{2} \Rightarrow y_M= \frac{5+9}{2} \Rightarrow \underline{y_M = 7}
x_M = 2 (pois M está em AB e todos os pontos desse segmento têm o mesmo valor da coordenada x)

Agora que temos as coordenadas de M podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos pra encontrar os valores das coordenadas dos outros dois pontos... ou podemos usar o fato que CD é paralelo ao eixo x e fazer uma soma e uma subtração para encontrar as coordenadas dos outros dois pontos:

x_C = x_M - 2 = 2-2 \Rightarrow \underline{x_C = 0} \\ x_D = x_M + 2 = 2+2 \Rightarrow \underline{x_D = 4}

Daí as coordenadas dos outros dois pontos são C(0, 7) e D(4, 7)