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2014-03-10T23:30:46-03:00
Em vez de tentar racionalizar tudo de uma vez tu separa o denominador em dois termos, \sqrt{5} \ \mathrm{e} \ ( \sqrt{2} + \sqrt{3} ). Chamemos a fração toda de E; associando daquela forma podemos racionalizar:

E=\frac{4\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}}. \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}} \Rightarrow E=\frac{4\sqrt{3}((\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5})}{((\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5})((\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5})}

Não vamos nos importar agora com o numerador, vamos primeiro simplificar aquele denominador. Pelos produtos notáveis temos:

((\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5})((\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}) = (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2 \Rightarrow \\ \Rightarrow (\sqrt{2})^2+2\sqrt{2}.\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2-5 \Rightarrow 2+2\sqrt{3}.\sqrt{2}+3-5 \\ \\ \underline{((\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5})((\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}) = 2\sqrt{3}.\sqrt{2}}

Agora é só substituir o que foi encontrado acima no denominador da expressão e racionalizar o que aparecer:

E= \frac{4\sqrt{3}((\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5})}{2\sqrt{3}.\sqrt{2}} \Rightarrow E=\frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{\sqrt{2}} \\ \\ \mathrm{Racionalizando \ldots} \\ \\ E=\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{2} \\ \\ \mathrm{Distribuindo \ e \ cancelando \ os \ 2 \ldots} \\ \\ \boxed{\boxed{E=2+\sqrt{6}-\sqrt{10}}}