Calcule o volume, em litros, do sólido obtido a partir da revolução do perfil mostrado abaixo no eixo horizontal, considerando que as medidas indicadas nos eixos são dadas em decímetros. Descreva as etapas da sua resolução e deixe os cálculos como justificativa. VER O DESENHO no grafico anexado

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2013-05-15T23:23:40-03:00

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Olá, Dhonna.

 

 

A análise deve ser dividida em quatro intervalos, cada um com figuras de volumes conhecidos.

 

 

(1) De x=1 a x=2: o trapézio deitado, após a rotação em torno do eixo x, se torna um tronco de cone deitado, com altura h=1, raio maior R=2 e raio menor r=1:

 

V=\frac{\pi h}3 (R^2+rR+r^2)= \frac{\pi \cdot 1}3 (2^2+1\cdot 2+1^2)= \frac{\pi}3 \cdot (4+2+1) = \frac{7\pi}3

 

 

(2) De x=2 a x=3: retângulo de base 2 e altura 1 deitado, que, após a rotação em torno do eixo x, vira um cilindro deitado de altura h=1 e raio R=2:

 

V = \pi R^2 h=\pi \cdot 2^2 \cdot 1=4\pi

 

 

(3) De x=3 a x=4: tronco de cone idêntico ao intervalo [1,2], cujo volume já foi calculado.

 

V= \frac{7\pi}3

 

 

(4) De x=4 a x=5: quadrado de lado 1, que, após a rotação em torno do eixo x, vira um cilindro deitado de altura h=1 e raio r=1:

 

V = \pi r^2 h=\pi \cdot 1^2 \cdot 1=\pi

 

 

O volume total é a soma dos quatro volumes calculados acima:

 

V_{total}=\frac{7\pi}3+4\pi+\frac{7\pi}3+\pi=\frac{7+12+7+3}3 \pi\\\\ \therefore \boxed{V_{total}=\frac{29}3 \pi}

 

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