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2014-03-16T20:45:05-03:00
Pelo binômio de Newton tu encontra que:

(a+b)^5 = a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5 \\ \\ (a+b)^5=(a^5+b^5)+5ab(a^3+b^3)+10a^2b^2(a+b) \\ \\ \mathrm{e} \\ \\ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \\ \\ (a+b)^3=(a^3+b^3)+3ab(a+b)

(Reescrevi dessa forma, fatorando, porque temos umas coisas a calcular e, depois de calculadas, é só substituir)
Fazendo a=x e b=1/x primeiramente na segunda identidade e depois na primeira encontramos:

\left( x+\frac{1}{x} \right) ^3=\left( x^3+\frac{1}{x^3} \right) + 3x.\frac{1}{x}\left( x+\frac{1}{x} \right) \Rightarrow t^3=\left( x^3+\frac{1}{x^3} \right) +3t \\ \\ x^3+\frac{1}{x^3}=t^3-3t

Agora substituindo na primeira:

\left( x+\frac{1}{x} \right) ^5=\left( x^5+\frac{1}{x^5} \right) +5x.\frac{1}{x}\left( x^3+\frac{1}{x^3} \right) + 10x^2.\frac{1}{x^2}\left( x+\frac{1}{x} \right) \\ \\ t^5=\left( x^5+\frac{1}{x^5} \right) +5(t^3-3t)+10t \\ \\ \boxed{\boxed{x^5+\frac{1}{x^5}=t^5-5t^3+5t}}