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2013-05-17T16:24:18-03:00

eu presciso simplificar a seguinte expressao algebrica

5y-{-4y2+7y2}+{-y2+9y2-11y2}

A melhor resposta!
2013-05-17T19:06:42-03:00

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Olá, Henrique.

 

\text{Somando as duas equa\c{c}\~oes temos:}\\\\x^2+y^2+xy=79\\\\ \text{Somando }xy\text{ dos dois lados temos:}\\\\ x^2+xy+xy+y^2=79+xy \Rightarrow x^2 + 2xy + y^2 = 79 + xy \Rightarrow \\\\ (x+y)^2=79+xy \Rightarrow (x+y)^2 - xy = 79

 

Façamos agora a seguinte mudança de variável:

 

\begin{cases}u=x+y \\ v=xy \end{cases}

 

O sistema passa a ser então:

 

\begin{cases}u^2 - v = 79 \\ u + v = 31 \end{cases}

 

Somando as duas equações temos:

 

u^2 + u = 110 \Rightarrow u^2 + u - 110 = 0 \Rightarrow\\\\ \Delta = 1 + 440 = 441 \Rightarrow \sqrt\Delta=\sqrt{3^2+7^2}=3\cdot7=21 \Rightarrow\\\\ u=\frac{-1 \pm 21}2 \Rightarrow u=10\text{ ou }u=-11\\\\ \text{Se }u=10 \Rightarrow 10 + v = 31 \Rightarrow v=21\\\\ \text{Se }u=-11 \Rightarrow -11 + v = 31 \Rightarrow v = 42

 

Voltemos agora à mudança de variável que fizemos lá atrás para obter os valores de  x  e  y:

 

\text{Para o par }(u,v)=(10,21)\text{ temos o seguinte sistema:}\\\\ \begin{cases}x+y=10 \\ xy = 21 \end{cases} \Rightarrow x(10-x)=21 \Rightarrow -x^2 + 10x - 21 = 0 \Rightarrow \\\\ \Delta = 100-84=16 \Rightarrow \sqrt\Delta=4\\\\ x= \frac{-10 \pm 4}{-2} \Rightarrow x=7\text{ ou }x=3\\\\ \text{Se }x=7 \Rightarrow 7+y=10 \Rightarrow y=3\\\\ \text{Se }x=3 \Rightarrow 3+y = 10 \Rightarrow y=7

 

\text{Para o par }(u,v)=(-11,42)\text{ temos o seguinte sistema:}\\\\ \begin{cases}x+y=-11 \\ xy = 42 \end{cases}\Rightarrow x(-11-x)=42 \Rightarrow -x^2 - 11x - 42 = 0 \Rightarrow\\\\ \Delta = 121-168=-47 \Rightarrow \sqrt\Delta = i\sqrt{47} \Rightarrow x = \frac{-11 \pm i\sqrt{47}}2\\\\ \Rightarrow y = -11 - \frac{11 \pm i\sqrt{47}}2

 

Portanto, as soluções reais são:

 

\boxed{(x,y)=(3,7)\text{ e }(x,y)=(7,3)}

 

e as soluções complexas são:

 

(x,y)=(\frac{-11 \pm i\sqrt{47}}2, -11 - \frac{11 \pm i\sqrt{47}}2)

 

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