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A melhor resposta!
2014-03-20T01:40:41-03:00
Tenhamos o polinomio do 3 grau escrito na forma geral: 

ax^3 + bx^2 + cx + d =0 

no caso do polinomio x^3 + 2x + 1 = 0 temos: 

a=1; b=0 ; c=2 ; d=1 

pelas relações de Girard temos: 

soma das raízes = x1+x2+x3 = -b/a 
produto das raízes 2 a 2 = x1*x2 + x2*x3 + x1*x3 = c/a 

sejam as raizes da equação x1, x2 e x3 temos 

x1+x2+x3 = -b/a 
x1+x2+x3 = 0 

elevando os dois lados ao quadrado temos: 

(x1+x2+x3 )^2 = 0 

desenvolvendo por produtos notáveis: 

x1^2 + x2^2 + x3^2 + 2*x1*x2 + 2*x2*x3 + 2*x1*x3 = 0 

isolando a soma dos quadrados das raizes: 

x1^2 + x2^2 + x3^2 = - (2*x1*x2 + 2*x2*x3 + 2*x1*x3) 

x1^2 + x2^2 + x3^2 = - 2* ( x1*x2 + x2*x3 + x1*x3) 

repare que o termo entre parenteses do lado direito da equação é o produto das raízes duas a duas 

logo temos: 

x1^2 + x2^2 + x3^2 = -2*(c/a) ; como c/a = 2/1 = 2 temos 
x1^2 + x2^2 + x3^2 = -2*(2) 

por fim temos x1^2 + x2^2 + x3^2 = -4 

portanto a soma dos quadrados das raízes é igual a -4. 

Espero ter ajudado!
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