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2013-05-23T02:09:40-03:00

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Olá, Anderson.

 

Pelo critério "Ângulo, Ângulo" (AA), temos que os dois triângulos menores da figura são semelhantes.

 

Portanto, temos que:

 

\frac{x}{30-y} = \frac{20-x}y \Rightarrow xy = (30-y)(20-x) \Rightarrow\\\\ xy = 600 - 30x - 20y + xy \Rightarrow 20y = 600 - 30x \Rightarrow\\\\ y = 30 - \frac32 x\text{ (i)}\Rightarrow xy = 30x - \frac32 x^2 \Rightarrow \\\\ \text{\'Area do ret\^angulo}= f(x) = 30x - \frac32 x^2

 

Á área do retângulo, que é uma função de x, é máxima quando sua derivada for igual a zero.

 

Portanto:

 

f'(x) = 0 \Rightarrow 30 - 3x = 0 \Rightarrow\boxed{x=10} \\\\ \text{Substituindo o valor de }x\text{ em (i):}\\\\ y = 30 - \frac32 \cdot 10 = 30 - 3 \cdot 5 \Rightarrow \boxed{y=15}

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