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2014-04-02T23:10:45-03:00

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Trabalhando na fração:

Vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador (1 - i):

\frac{\sqrt{2}}{1+i}=\frac{\sqrt{2}*(1-i)}{(1+i)*(1-i)}

Sabemos que (a+b)*(a-b)=a^{2}-b^{2}

\frac{\sqrt{2}}{1+i}=\frac{\sqrt{2}*(1-i)}{1^{2}-i^{2}}\\\\\frac{\sqrt{2}}{1+i}=\frac{\sqrt{2}*(1-i)}{1-(-1)}\\\\\frac{\sqrt{2}}{1+i}=\frac{\sqrt{2}*(1-i)}{2}

(\frac{\sqrt{2}}{1+i})^{91}=(\frac{\sqrt{2}*(1+i)}{2})^{91}=\frac{\sqrt{2}^{91}*(1-i)^{91}}{2^{91}}\\\\(\frac{\sqrt{2}}{1+i})^{91}=\frac{\sqrt{2}^{90}*\sqrt{2}^{1}*(1-i)^{91}}{2^{91}}\\\\(\frac{\sqrt{2}}{1+i})^{91}=\frac{2^{45}*\sqrt{2}*(1-i)^{91}}{2^{91}}\\\\(\frac{\sqrt{2}}{1+i})^{91}=2^{45-91}*\sqrt{2}*(1-i)^{91}\\(\frac{\sqrt{2}}{1+i})^{91}=2^{-46}*\sqrt{2}*(1-i)^{91}

Agora, trabalharemos em (1 - i)⁹¹:

(1-i)^{91}=(1-i)^{90}*(1-i)^{1}\\(1-i)^{91}=([1-i]^{2})^{45}*(1-i)

(1 - i)^{2}=1^{2}-2*1*i+i^{2}\\(1-i)^{2}=1-2i-1\\(1-i)^{2}=-2i

Substituindo (1 - i)² por - 2i:

(1-i)^{91}=(-2i)^{45}*(1-i)\\(1-i)^{91}=(-2)^{45}*i^{45}*(1-i)

45 ÷ 4 = 11 + 1 de resto ---> i⁴⁵ = i¹ = i

(1-i)^{91}=(-2)^{45}*i*(1-i)\\(1-i)^{91}=(-2^{45})*(i-i^{2})\\(1-i)^{91}=(-2^{45})*(i-[-1])\\(1-i)^{91}=(-2^{45})*(i+1)
_______________________

(\frac{\sqrt{2}}{1+i})^{91}=2^{-46}*\sqrt{2}*(1-i)^{91}\\(\frac{\sqrt{2}}{1+i})^{91}=2^{-46}*\sqrt{2}*(-2)^{45}*(1+i)\\(\frac{\sqrt{2}}{1+i})^{91}=-2^{-46+45}*\sqrt{2}*(1+i)\\(\frac{\sqrt{2}}{1+i})^{91}=-2^{-1}*\sqrt{2}*(1+i)\\(\frac{\sqrt{2}}{1+i})^{91}=-\frac{\sqrt{2}*(1+i)}{2}\\\\\boxed{\boxed{(\frac{\sqrt{2}}{1+i})^{91}=-\frac{\sqrt{2}}{2}*(1+i)}}

Letra E