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  • Usuário do Brainly
2013-05-30T23:02:54-03:00

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5(n - 3)! + 5(n - 1)! = 31(n - 2)! \\ 5(n - 3)! + 5(n - 1)(n - 2)(n - 3)! = 31(n - 2)(n - 3)! \;\;\;\; \div[(n - 3)! \\ 5 + 5(n - 1)(n - 2) = 31(n - 2) \\ 5[1 + (n - 1)(n - 2)] = 31(n - 2) \\ 5(1 + n^2 - 3n + 2) = 31n - 62 \\ 5n^2 - 15n - 31n + 15 + 62 = 0 \\ 5n^2 - 46n + 77 = 0 \\ \Delta = 2116 - 1540 \\ \Delta = 576 \\\\ x = \frac{46 \pm \sqrt{576}}{10} \begin{cases} x' = \frac{46 + 24}{10} \Rightarrow \boxed{\boxed{x' = 7}} \\ x'' = \frac{46 - 24}{10} \Rightarrow x'' = 2,2 \end{cases}

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  • Usuário do Brainly
2013-05-30T23:15:49-03:00

Temos que:

 

5\cdot(\text{n}-3)!+5\cdot(\text{n}-1)!=31\cdot(\text{n}-2)!

 

Observe que:

 

(\text{n}-2)!=(\text{n}-2)\cdot(\text{n}-3)!

 

(\text{n}-1)!=(\text{n}-1)\cdot(\text{n}-2)\cdot(\text{n}-3)!

 

Desta maneira, podemos escrever:

 

5\cdot(\text{n}-3)!+5\cdot(\text{n}-1)\cdot(\text{n}-2)\cdot(\text{n}-3)!=31\cdot(\text{n}-2)\cdot(\text{n}-3)!

 

Dividindo ambos os membros por (\text{n}-3)!:

 

5+5\cdot(\text{n}-1)\cdot(\text{n}-2)=31\cdot(\text{n}-2)

 

5+5\text{n}^2-15\text{n}+10=31\text{n}-62

 

5\text{n}^2-46\text{n}+77=0

 

\text{n}=\dfrac{-(-46)\pm\sqrt{(-46)^2-4\cdot5\cdot77}}{2\cdot5}=\dfrac{46\pm24}{10}

 

Logo, as raízes são:

 

\text{n}'=\dfrac{46+24}{10}=7

 

\text{n}"=\dfrac{46-24}{10}=\dfrac{11}{5}

 

Como \text{n}\in\mathbb{Z}^+, segue que \text{n}=7.

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