CONJUNTOS - Gente, gostaria que vocês me ajudassem com esta questão de conjuntos. O gabarito indica a letra A como resposta. Por quê?

(UEFS) Sabe-se sobre os conjuntos não-vazios X e Y que:

* X tem um número par de elementos
* Y tem um número ímpar de elementos
* X
Y é um conjunto unitário
* O número de subconjuntos de Y é o dobro do número de subconjuntos de X.

Com base nessas informações, pode-se concluir que o número de elementos de X
Y é igual a:

a) dobro do número de elementos de X
b) dobro do número de elementos de Y
c) triplo do número de elementos de X
d) triplo do número de elementos de Y
e) quádruplo do número de elementos de X

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Respostas

A melhor resposta!
2014-04-05T20:56:08-03:00
I) Então, vamos lá. Uma coisa a respeito do número de subconjuntos de um certo conjunto: seja \mathcal{P}(A) o conjunto das partes de A; teremos que

n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)} \\ \\ \mathrm{e \ que}\\ \\ n(\mathcal{P}(A)) \ \mathrm{\'e \ o \ n\'umero \ de \ subconjuntos \ de} \ A

Então, usando a 4ª informação dada e o que disse acima, teremos:

n(\mathcal{P}(Y))=2.n(\mathcal{P}(X))\Rightarrow 2^{n(Y)}=2.2^{n(X)}\\ \\ \boxed{n(Y) = n(X)+1}

ii) Seja x = n(X), sem nos importarmos se ele é par ou ímpar. Teremos, então, que n(Y) = x+1. Daí, pelo princípio da inclusão-exclusão e usando a informação 3, teremos:

n(X\cup Y)=n(X)+n(Y)-n(X\cap Y)\Rightarrow n(X\cup Y)=x+x+1-1\Rightarrow \\ \Rightarrow n(X\cup Y)=2x \\ \\ \boxed{\boxed{n(X\cup Y)=2.n(X)}}

R: a)
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