Um objeto é solto do repouso de uma altura de H no instante t = 0. Um segundo objeto é arremessado para baixo com uma velocidade vertical de 80 m/s depois de um intervalo de tempo de 4,0 s, após o primeiro objeto. Sabendo que os dois atingem o solo ao mesmo tempo, calcule H (considere a resistência do ar desprezível e g = 10 m/s²).

Como resolve?

1

Respostas

2016-12-14T05:41:25-02:00

Esta é uma Resposta Verificada

×
As Respostas verificadas contém informações confiáveis, garantidas por um time de especialistas escolhido a dedo. O Brainly tem milhões de respostas de alta qualidade, todas cuidadosamente moderadas pela nossa comunidade de membros, e respostas verificadas são as melhores de todas.
Caso tenha problemas para visualizar a resposta pelo aplicativo, experimente abrir pelo navegador: https://brainly.com.br/tarefa/45702

____________


•    1º objeto:

     •    altura inicial:   \mathsf{H_0=H;}

     •    velocidade inicial:   \mathsf{v_0=0}   (parte do repouso);

     •    aceleração:   \mathsf{a=-g=-10~m/s^2;}

     •    instante inicial:   \mathsf{t_0 = 0}   (instante em que o 1º objeto é solto).


Equação horária da posição (altura) do 1º objeto:

\mathsf{H_1(t)=H_0+v_0
 t+\dfrac{1}{2}\,at^2}\\\\\\ \mathsf{H_1(t)=H+0t+\dfrac{1}{2}\cdot 
(-10)t^2}\\\\\\ \mathsf{H_1(t)=H-5t^2}


•    2º objeto:

     •    altura inicial:   \mathsf{H_0=H;}

     •    velocidade inicial:   \mathsf{v_0=-80~m/s}

     •    aceleração:   \mathsf{a=-g=-10~m/s^2.}


Equação horária da posição (altura) do 2º objeto:

\mathsf{H_2(t)=}\left\{\!&#10; \begin{array}{ll} \mathsf{H,}&\textsf{ se }\mathsf{0\le t<4}\\\\&#10; \mathsf{H_0+v_0(t-4)+\dfrac{1}{2}\,a(t-4)^2,}&\textsf{ se &#10;}\mathsf{t\ge 4} \end{array}\right.\\\\\\\\ \mathsf{H_2(t)=}\left\{\! &#10;\begin{array}{ll} \mathsf{H,}&\textsf{ se }\mathsf{0\le t<4}\\\\ &#10;\mathsf{H-80(t-4)-5(t-4)^2,}&\textsf{ se }\mathsf{t\ge 4} &#10;\end{array}\right.


Tivemos que usar \mathsf{(t-4)} na equação horária acima pois \mathsf{t} é a variável que indica quanto tempo se passou após o 1º objeto ser solto, sendo que o 2º foi solto 4 segundos depois.

__________


Como ambos os objetos atingem o solo ao mesmo tempo, vamos encontrar o instante em que isso ocorre:

\mathsf{H_1(t)=H_2(t)}\qquad\quad\textsf{para&#10; }\mathsf{t\ge 4}\\\\ \mathsf{\diagup\!\!\!\! H-5t^2=\diagup\!\!\!\! &#10;H-80(t-4)-5(t-4)^2}\\\\ \mathsf{-5t^2=-80(t-4)-5(t-4)^2}\\\\ &#10;\mathsf{-5t^2+80(t-4)+5(t-4)^2=0}\\\\ &#10;\mathsf{-5t^2+80(t-4)+5(t^2-8t+16)=0}\\\\ \mathsf{-\diagup\!\!\!\!\! &#10;5t^2+80t-320+\diagup\!\!\!\!\! 5t^2-40t+80=0}

\mathsf{80t-320-40t+80=0}\\\\&#10; \mathsf{40t-240=0}\\\\ \mathsf{40t=240}\\\\ &#10;\mathsf{t=\dfrac{240}{40}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \mathsf{t=6~s} &#10;\end{array}}


Este é o instante em que os dois objetos chegam ao solo, contando após o 1º objeto ser solto.

__________


Usaremos o fato de que

\mathsf{H_1(6)=H_2(6)=0}


para calcular a altura inicial. Vamos usar a equação horária do 1º objeto:

\mathsf{H_1(6)=H-5\cdot&#10; 6^2}\\\\ \mathsf{0=H-5\cdot 6^2}\\\\ \mathsf{0=H-5\cdot 36}\\\\ &#10;\mathsf{H=5\cdot 36}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{H=180~m} &#10;\end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}


A altura inicial H era de 180 metros.


Bons estudos! :-)


Tags: queda livre lançamento vertical altura tempo gravidade movimento acelerado cinemática

3 5 3