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2014-04-07T23:48:39-03:00

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I_{2}=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]

A^{T}=\left[\begin{array}{cc}x&x\\y&-y\end{array}\right]

______________________

A+I=k*A^{T}\\\\\left[\begin{array}{cc}x&y\\x&-y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]=k*\left[\begin{array}{cc}x&x\\y&-y\end{array}\right] \\\\\left[\begin{array}{cc}x+1&y\\x&1-k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}kx&kx\\ky&-ky\end{array}\right]

Temos um sistema de 4 equações:

x+1=kx\\y=kx\\x=ky\\1-y=-ky
______________________

y=kx\\k=y/x

x=ky\\k=x/y

Como k = k:

k=k\\y/x=x/y\\x*x=y*y\\x^{2}=y^{2}\\\sqrt{x^{2}}=\pm\sqrt{y^{2}}\\x=\pm~y

Testando x = y:

y=kx\\y=ky\\k=y/y\\k=1

x+1=kx\\x+1=1.x\\x+1=x\\1\neq 0

k = 1 não serve.

Testando x = - y:

y=kx\\y=k(-y)\\k=y/(-y)\\k=-1

x+1=kx\\x+1=(-1)x\\x+1=-x\\x+x=1\\2x=-1\\x=-1/2

x=-y\\-1/2=-y\\1/2=y
_____________________________

Vendo se os valores de k, x e y satisfazem todas as equações:

x+1=kx\\(-1/2)+1=(-1)*(-1/2)\\(-1+2)/2=1/2\\1/2=1/2

y=kx\\1/2=(-1)*(-1/2)\\1/2=1/2

x=ky\\-1/2=(-1)*(1/2)\\-1/2=-1/2

1-y=-ky\\1-(1/2)=-(-1)*(1/2)\\(2-1)/2=1/2\\1/2=1/2

Sim, esses valores satisfazem todas as equações, logo a solução é:

k=-1\\x=-1/2\\y=1/2
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