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2014-04-09T01:12:01-03:00
Vou analisar somente um elemento a_{ij}, que pode ser qualquer um. O que valor pra esse elemento vai valer pra todos os outros e, portanto, pra toda a matriz.

a) r.A \Leftrightarrow r.a_{ij}, \ \forall 1\leq i\leq m, \ 1\leq j\leq n

Façamos B = r.A, cujos elementos b_{ij} são dados por b_{ij}=r.a_{ij}. Teremos:

k.B \Leftrightarrow k.b_{ij}, \ \forall 1\leq i\leq m, \ 1\leq j\leq n\\ \\ k.B=k.b_{ij}\Rightarrow k.B=k(r.a_{ij})\Rightarrow k.B=(k.r).a_{ij}\\ \\ \boxed{\boxed{k(r.A)=(kr).A}}

b) Aqui vamos proceder de maneira semelhante ao item anterior:

(k+r).A \Leftrightarrow (k+r).a_{ij}, \ \forall 1\leq i\leq m, \ 1\leq j\leq n\\ \\ \mathrm{Distribuindo \ a \ mrltiplica\c{c}\~ao \ teremos}\\ \\ (k+r)A=k.a_{ij}+r.a_{ij}, \ \forall 1\leq i\leq m, \ 1\leq j\leq n\\ \\ \boxed{\boxed{(k+r).A=k.A+r.A}}


Aqui posso ter cometido um abuso de notação, mas foi a forma mais simples que encontrei de explicar esses produtos nas matrizes.

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