ITA) Considere uma Progressão Geométrica, onde o primeiro termo é a, a > 1, a razão é q, q> 1, e o produto dos seus termos é c. se , e , quantos termos tem esta Progressão geométrica ?



a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20

me ajudem por favorr

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depois do ponto da primeira frase fica assim:se log de b na base b na base a=4,log de b na base q=2,e log de b na base c=0,01quantos termos tem a pg?
consegue achar a soluçao?
Vai ficar muito grande a solução dela, e é que já estou saindo..se ninguém responder respondo mais tarde.. preciso sair.
ok obg
me ajudaaaa

Respostas

A melhor resposta!
2014-04-10T19:50:20-03:00
Dados da questão:
primeiro termo = a
razão = q > 1
produto dos termos = c
log_ab = 4
log_qb=2
log_cb = 0,01

A fórmula do produto Pn dos "n" primeiros termos de uma PG é:
(Pn)^2 = (a_1 . a_n)^n

onde a_1 é o 1º termo e a_n é o enésimo termo.

Então de c temos:
c^2 = (a_1 . a_n)^n\\\\c^2 = (a . a_n)^n

O termo geral da PG é a_n = a_1 . q^n, que no nosso caso pode ser escrito:
a_n = a.q^{n-1}

E daí, substituindo An na fórmula de c^2:
c^2 = (a . a_n)^n\\\\c^2 = (a . a . q^n)^n\\\\c^2 = (a^2 . q^{n-1})^n

O log_ab = 4  temos que: a^4 = b

O log_qb = 2  temos que: q^2 = b

Concluimos que a^4 = q^2 ~~=>~~ a^2 = q (lembre que q > 1)

Substituindo na fórmula de c^2:

c^2 = (a^2 . q^{n-1})^n\\\\c^2 = [a^2 . (a^2)^{n-1}]^n

c^2 = (a^2 . a^{2n-2})^n\\\\c^2 = (a^{2n-2+2})^n\\\\c^2 = (a^{2n})^n\\\\c^2 = a^{2n^{2}}

Acharemos o c pelo log_cb = 0,01 ⇒   c^{0,01} = b

Sabemos que b = a^4 então:
c^{0,01} = a^4, elevando tudo a 100,  c = a^{400}

Substituindo na fórmula de c^2:
c^2 = a^{2n^2}
(a^{400})^2 = a^{2n^2}
a^{800} = a^{2n^2}

Então, para isso ser verdadeiro, teremos que ter obrigatoriamente:

800 = 2n^2\\\\ \frac{800}{2}  = n^2\\\\400 = n^2\\\\\boxed{n = 20}

Ficou bem grande, mas é desse jeito mesmo. ;)
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mt obg msm
De nada, já consertei alguns erros. ;)