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2014-04-11T19:55:28-03:00

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2log _{2}x+log _{ \frac{1}{2} }x=log _{2}3

Como os logaritmos do 1º lado da igualdade estão em bases diferentes, vamos aplicar a propriedade de mudança de base de logaritmos, escolhendo a base inteira, base 2:

Pela P.M.B, mudando-se para uma base b, temos:

log _{a}c= \frac{log _{b}c }{log _{b}a }

2log _{2}x+ \frac{log _{2}x }{log _{2} \frac{1}{2}  }=log _{2}3

2log _{2}x+ \frac{log _{2} x}{-1}=log _{2}3

2log _{2}x-log _{2}x=log _{2}3

Aplicando a p2 e a p3, (propriedade do produto e da potência)

loga-logb=log \frac{a}{b}

logb ^{x}=x*logb

 \frac{(log _{2}x) ^{2}  }{log _{2}x }=log _{2}3

Utilizando uma variável auxiliar, fazendo log _{2}x=y , temos:

 \frac{y ^{2} }{y}=3

 y^{2}=3y

 y^{2}-3y=0

y(y-3)=0

y'=0~~e~~y''=3

Retomando a variável original, temos:

Para y=0:

log _{2}x=y

log _{2}x=0

Usando a definição, vem:

x=2 ^{0}

x=1

Para y=3:

log _{2}x=3

x=2 ^{3}

x=8, portanto:


\boxed{\boxed{S=(1,8)}}


Espero ter ajudado!!!