26. (Ufrn 2000) Um observador, situado no ponto P de um prédio, vê três pontos, Q, R e S, numa mesma vertical, em um prédio vizinho, conforme esquematizado na figura abaixo. P e Q estão num mesmo plano horizontal, R está 6 metros acima de Q, e S está 24 metros acima de Q. Verifica-se que o ângulo ‘ do triângulo QPR é igual ao ângulo ’ do triângulo RPS.

O valor, em metros, que mais se aproxima da distância entre P e Q é:

a) 8,5

b) 8,8

c) 9,4

d) 10,2

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Respostas

2014-04-14T02:30:37-03:00
Como dito os ângulo são iguais, logo
 \alpha = \beta
tg( \alpha )= \frac{6}{x} \\
tg( \alpha + \beta )=\frac{24}{x}\\
tg( 2\alpha )=\frac{24}{x}\\

Usando a relação trigonométrica da tangente do arco duplo, teremos:
tg(2 \alpha )= \frac{2.tg( \alpha )}{1-tg^2( \alpha )}

Substituindo as tangentes anteriormente encontradas, obteremos:
tg( \alpha )= \frac{6}{x} \\ \frac{24}{x}= \frac{2. \frac{6}{x} }{1-( \frac{6}{x})^2 } \\
\frac{24}{x}= \frac{\frac{12}{x} }{ \frac{x^2-36}{x^2} }\\
\frac{24}{x}= \frac{12}{x} \frac{x^2}{x^2-36} \\
\frac{24}{x}= \frac{12x}{x^2-36} \\
24x^2-864=12x^2 \\
12x^2 = 864\\
x= \sqrt{72} \\
x = 8,48m

Alternativa correta é letra a.
6 3 6