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2014-04-14T01:19:38-03:00
A área dessa figura pode ser obtida usando, a seguinte integral:
A = \[\int \int_{R} dA\] \\

A partir de da figura R podemos determinar os limites da integral, então vamos desenhar essa região e determinar os pontos de intersecção das funções.

Isolando y nas duas equações:
2y=16-x^2 \\
y =  \frac{16-x^2}{2} \\
y = 8 -  \frac{x^2}{2}
2x+y=2 \\
y = 2-2x

Assim, igualamos as equações:
2-2x = 8- \frac{x^2}{2} \\
- \frac{x^2}{2} +2x +8-2=0 \\
- \frac{x^2}{2} +2x +6=0

Encontramos as raízes:
 x_{1} = \frac{-2+ \sqrt{2^2-4.( -\frac{1}{2} ).6} }{2.(-\frac{1}{2})} \\
 x_{1} = \frac{-2+ \sqrt{16} }{-1} \\
 x_{1} = \frac{2}{-1} \\
 x_{1} = -2 \\
 x_{2} = \frac{-2- \sqrt{2^2-4.( -\frac{1}{2} ).6} }{2.(-\frac{1}{2})} \\
 x_{2} = \frac{-2- \sqrt{16} }{-1} \\
 x_{2} = \frac{-6}{-1} \\
 x_{2} = 6 \\

Agora vamos para os limites da integral que podem ser visto pelo gráfico na imagem, onde tem como liimite inferior em y de y = 2 - 2x e superior de y = 8 - x^(2)/2.

\[A =\int_{-2}^{6} \int_{2-2x}^{8-\frac{x^2}{2}} dydx\]\\A =\[\int_{-2}^{6} (8-\frac{x^2}{2}-2+2x) dx\] \\A =\[\int_{-2}^{6} (-\frac{x^2}{2}+6+2x) dx\] \\A =\[-\frac{1}{6}(6^3 - (-2)^3)+6(6+2)+(6^2-(-2)^2)\]\\
A =\[-\frac{1}{6}(6^3 +8)+6.8+(36-4)\] \\
A = 42,667
2 5 2
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É isso aí. Nem coloquei o gráfico...
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São funções elementares, são fáceis de esboçar.
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