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2014-04-15T23:44:59-03:00

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\frac{1+i}{1-i}
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Quando temos i no denominador, temos que tirá-lo dele. Um bom método pra isso é multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pelo conjugado do denominador.

\boxed{z=a+bi~~\rightleftharpoons~~\overline{z}=a-bi}

Conjugado de 1 - i: 1 + i

\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)*(1+i)}{(1-i)*(1+i)}

No denominador, temos um produto notável: O produto da soma pela diferença de 2 termos

\boxed{(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}

\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)^{2}}{1^{2}-i^{2}}

Sabe-se que i² = -1. Resolvendo:

\frac{1+i}{1-i}=\frac{1^{2}+2*1*i+i^{2}}{1-(-1)}\\\\\frac{1+i}{1-i}=\frac{1+2i+(-1)}{1+1}\\\\\frac{1+i}{1-i}=\frac{1+2i-1}{2}\\\\\frac{1+i}{1-i}=\frac{2i}{2}\\\\\boxed{\boxed{\frac{1+i}{1-i}=i}}