Marcos fez cinco provas de matemática. Suas notas, em ordem crescentes, foram 75, 89, 84, 86 e 95. Ao digitar as notas de Marcos na ordem em que as provas foram realizadas, o professor notou que as médias das duas primeiras provas, das três primeiras, das quatro primeiras e das cinco provas eram números inteiros. Qual foi a nota que Marcos tirou na ultima prova? OBMEP 2013

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Respostas

  • Usuário do Brainly
2013-06-06T15:50:54-03:00

Sejam \text{n}_1 e \text{n}_2 as duas primeiras notas de Marcos.

 

Observe que, os valores das notas devem ser ambos pares, ou ambos ímpares. 

 

Desse modo, uma possibilidade é (\text{n}_1, \text{n}_2)=(75, 95), cuja soma é 75+95=170.

 

Entretanto, se \text{n}_3 é a terceira nota, temos que \dfrac{\text{n}_1+\text{n}_2+\text{n}_3}{3} é inteiro. Porém, se (\text{n}_1, \text{n}_2)=(75, 95), não há possibilidades.

 

Desta maneira, excluímos a possibilidade (\text{n}_1, \text{n}_2)=(75, 95).

 

Como 80 e 86 são ambos pares, uma possibildade é (\text{n}_1, \text{n}_2)=(80, 86).

 

Depois diss, verificamos que \text{n}_3=95, de modo que, \dfrac{\text{n}_1+\text{n}_2+\text{n}_3}{3} seja inteiro.

 

Desse modo, há duas possibilidades para a quarta nota: 84 ou 75.

 

Se \text{n}_4=84, temos que \dfrac{\text{n}_1+\text{n}_2+\text{n}_3}+\text{n}_4}{4} não e inteiro.

 

Logo, podemos afirmar que, as notas de Marcos foram 80, 86, 95, 75, 84, nessa ordem e,

 

Portanto, a nota de Marcos na última prova foi 84.