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2014-04-21T19:30:05-03:00
Um macete muito útil é supor que uma das raízes seja o - 1. Portanto, essa função seria divisível pelo monômio (x + 1).

Após dividir a função f(x) = x³ + 9x² + 23x + 15 por (x + 1), encontramos um quociente igual a x² + 8x + 15, com resto igual a zero. Logo, confirmamos que - 1 é uma das raízes de f(x). Então, convencionemos a = - 1.

As outras duas raízes, b e c, serão encontradas ao se calcular as raízes do polinômio x² + 8x + 15. Fatorando, temos: x² + 8x + 15 = (x + 3).(x + 5). Logo, b = - 3 e c = - 5.

Finalmente, vamos ao cálculo da expressão solicitada:

 2^{a} + 2^{b} + 2^{c} = 2^{-1} + 2^{-3} + 2^{-5} = \frac{1}{2} + ( \frac{1}{2} )^{3} + ( \frac{1}{2} )^{5} = \frac{1}{2} +  \frac{1}{ 2^{3} }  +  \frac{1}{ 2^{5} }
= \frac{1}{2} +  \frac{1}{ 8 }  +  \frac{1}{ 32 } = \frac{16}{32} +  \frac{4}{ 32}  +  \frac{1}{ 32 } = \frac{16+4+1}{32}= \frac{21}{32}