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2014-04-24T23:23:07-03:00
Questão de racionalização de denominadores.

i) Vamos racionalizar o denominador dessa fração, que vamos chamar de F:

F=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}-k}.\frac{\sqrt{k^2+1}+k}{\sqrt{k^2+1}+k}\Rightarrow F=\frac{\sqrt{k^2+1}+k}{(\sqrt{k^2+1})^2-k^2}\Rightarrow F=\frac{\sqrt{k^2+1}+k}{k^2+1-k^2}\\ \\ \boxed{F=\sqrt{k^2+1}+k}

ii) Perceba, agora, que k²+1 > k². Tirando a raiz dos dois membros temos que:

\sqrt{k^2+1}>k

E somando k em ambos os membros dessa desigualdade temos que

\sqrt{k^2+1}+k>2k

Mas perceba que o primeiro membro dessa desigualdade é justamente F, como calculamos acima. Portanto, finalizando, temos que:

\boxed{\boxed{F>2k}}

R: e) é maior que 2k
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