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A melhor resposta!
2014-05-02T00:12:31-03:00
A parábola é infinita ...vc quer passar uma reta horizontal entre as duas parabolas

então uma parabola tem o coeficiente positivo e o outro coeficiente negativo
e uma das parabolas tbm tem que ter o delta negativo..porque quando o delta negativo a parabola não tocara no eixo X ..
desta forma teremos um grafico parecido com isso
U
∩  
e assim poderemos traçar uma reta horizontal  que não intercepte nenhuma das duas parabolas 

f(x)=mx^2+6x+ \frac{5m}{2} \\\\g(x)=x^2+3x+m

como uma das parabolas tem que ter o coeficiente A negativo
podemos ver que M é um numero negativo

calulando o delta das funções
Δ=b²-4*a*c
vou chamar Δ de ..D
D_{f(x)}=6^2-4*m* \frac{5m}{4} \\\\D_{f(x)}=36- 5m^2

D_{g(x)}=3^2-4*1*m\\\\D_{g(x)}=9-4m

como M tem que ser negativo ..observamos que a função de g(x) com M negativo
tera um valor de Δ positivo

então a função que tem Δ<0 é a função f(x)

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agora calculando o vertice Y das funções
que vai indicar o ponto máximo e minimo de cada uma 

V_y=  \frac{-(delta)}{4*a}

calculando em f(x)
V_y=  \frac{-(36-5m^2)}{4*m} \\\\ V_y=  \frac{-36+5m^2}{4m}

calculando o vertice da função g(x)
V_y= \frac{-(9-4m)}{4*1}\\\\V_y= \frac{-9+4m}{4}

agora vou calcular um valor para que os dois vertices se interceptem
sera quando vertice f(x) = vertice g(x)
\frac{-36+5m^2}{4m} = \frac{-9+4m}{4} \\\\-36+5m^2= (\frac{-9+4m}{4}) *4m\\\\4*(-36+5m^2)=(-9+4m)*4m\\\\-144+20m^2=-36m+16m^2\\\\-144+20m^2+36m-16m^2=0\\\\4m^2+36m-144=0\\\\m^2+9m-36=0

agora temos outra equação do segundo grau...calculando ela saberemos o valor de M
para que os vertices da parabola se interceptem

m^2+9m-36=0

aplicando bhaskara
 \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4*a*c} }{2*a} = \frac{-9\pm \sqrt{9^2-4*1*-36} }{2*1}\\\\ =\frac{-9\pm \sqrt{225} }{21}= \frac{-9\pm15}{2} \\\\m'= \frac{-9+15}{2} =3\\\\m'= \frac{-9-15}{2} =-12

as parabolas se interceptam quando  m=3 e m =-12
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como tinhamos visto...que M é negativo
e sabendo que M tem que ser negativo e não pode ser -12 porque as duas parabolas não podem se tocar...

então para qualquer valor de M menor que -12 vc pode traçar uma reta horizontal separando o grafico das duas parabolas  parabolas 

resposta : \boxed{\boxed{ a) M < -12}}

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