Limite.
Por favor, gostaria da RESOLUÇÃO do seguinte limite:
 \lim_{x \to \ um} \frac{ x^{100-2x+1} }{ x^{50-2x+1} } .
Obs: Já tenho a resposta. Gostaria da resolução. Desde já agradeço.

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Muito obrigada, mesmo. Por acaso teria um outro jeito de resolver sem que fosse por L'Hopital? Pois ainda não cheguei em derivada. Mas de qualquer forma, agradeço pela resolução.
Ter tem, o método intuitivo, que fatoramos o numerador e o denominador e chegamos numa expressão onde podemos substituir o x pelo valor que esse tende
Mas fatorar x^100 - 2x + 1 e x^50 - 2x + 1 seria algo beem complicado
Ahh.. e como é complicado kk. Estou tendo a certeza disso. Mas tudo bem, obrigada mesmo assim. Já fica para a chegada da derivada.
Não sei te dizer se existe outro método, pois só vi o básico de limites e um pouquinho de derivadas por conta própria :/

Respostas

2014-05-01T21:55:06-03:00

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\lim\limits_{x\rightarrow1}~\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}=\frac{1^{100}-2.1+1}{1^{50}-2.1+1}\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1}~\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}=\frac{1-2+1}{1-2+1}\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1}~\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}=\frac{0}{0}

0/0 é uma indeterminação matemática. Podemos aplicar a regra de L'Hopital para calcular esse tipo de limites

\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow q}~\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow q}~\frac{f'(x)}{g'(x)}}}

Derivaremos o numerador e o denominador, então:

f(x)=x^{100}-2x+1\\f'(x)=100x^{100-x}-1.2x^{1-1}+0\\f'(x)=100x^{99}-2\\\\g(x)=x^{50}-2x+1\\g'(x)=50x^{50-1}-1.2x^{1-1}+0\\g'(x)=50x^{49}-2

\lim\limits_{x\rightarrow a}~\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}~\frac{f'(x)}{g'(x)}

\lim\limits_{x\rightarrow1}~\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}~\frac{100x^{99}-2}{50x^{49}-2}\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1}~\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}=\frac{100.1^{99}-2}{50.1^{49}-2}\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1}~\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}=\frac{100-2}{50-2}\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1}~\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}=\frac{98}{48}\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow1}~\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}=\frac{49}{24}}}
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