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2014-05-03T00:37:18-03:00

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Os amigos dos comentários resolveram de um jeito, resolverei de outro que envolve derivadas ok?

\lim\limits_{x\rightarrow -1}\frac{x^{3}+3x^{2}-x-3}{x^{3}-x^{2}+2}

Tentaremos substituir x por -1 no limite, e ver o que acontece:

\frac{(-1)^{3}+3(-1)^{2}-(-1)-3}{(-1)^{3}-(-1)^{2}+2}\\\\\frac{-1+3+1-3}{-1-1+2}\\\\\frac{0}{0}

Chegamos numa indeterminação matemática. Podemos calcular esse tipo de limites usando a regra de L'Hopital, que diz:

\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow q}~\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow q}~\frac{f'(x)}{g'(x)}}
_______________________

Calculando a derivada do numerador:

f(x)=x^{3}+3x^{2}-x-3\\f'(x)=3x^{3-1}+2.3x^{2-1}-1.x^{1-1}-0\\f'(x)=3x^{2}+6x-1

Calculando a derivada do denominador:

g(x)=x^{3}-x^{2}+2\\\\g'(x)=3x^{3-1}-2x^{2-1}+0\\g'(x)=3x^{2}-2x
____

\lim\limits_{x\rightarrow q}~\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow q}~\frac{f'(x)}{g'(x)}\\\\\lim\limits_{x\rightarrow -1}\frac{x^{3}+3x^{2}-x-3}{x^{3}-x^{2}+2}=\lim\limits_{x\rightarrow -1}\frac{3x^{2}+6x-1}{3x^{2}-2x}\\\\\lim\limits_{x\rightarrow -1}\frac{x^{3}+3x^{2}-x-3}{x^{3}-x^{2}+2}=\frac{3(-1)^{2}+6(-1)-1}{3(-1)^{2}-2(-1)}\\\\\lim\limits_{x\rightarrow -1}\frac{x^{3}+3x^{2}-x-3}{x^{3}-x^{2}+2}=\frac{3-6-1}{3+2}

\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow -1}\frac{x^{3}+3x^{2}-x-3}{x^{3}-x^{2}+2}=-\frac{4}{5}}}
A melhor resposta!
2014-05-03T09:42:08-03:00

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Como -1 zera os dois polinomios, significa que ambos são divisiveis por (x+1)
efetuando a divisão (fatoração), fica
numerador : x²(x+3) - (x+3)
= (x² - 1)(x + 3)
= (x+1)(x-1)(x+3)

denominador : (x+1)(x² - 2x + 2)

simplificando por (x+1) o limite fica

lim (x-1)(x+3) / (x² - 2x + 2)
x~> -1
como não há mais a indeterminação 0/0 , podemos substituir x por -1
= (-1-1)(-1+3) / [(-1)² -2(-1) + 2]
= (-4) / (5)
= -4/5 (resp)
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