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2016-06-13T16:19:56-03:00

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Bom.

Suponhamos que cada pedaço medirá x.

Observe que x deve ser o maior valor possível, de forma que

\bullet\;\; 75 seja múltiplo de x\,,

\bullet\;\; 90 seja múltiplo de x\,,

\bullet\;\; 120 seja múltiplo de x\,,


ou em outras palavras,

x deve ser o maior valor possível, de forma que

x é divisor de 75, 90 e 120.

________________________

O problema consiste em encontrar o máximo divisor comum entre 75, 90 e 120:

x=\mathrm{mdc}(75,\,90,\,120)

________________________

Decompondo cada número em seus fatores primos:

\begin{array}{r|l}
 75&3\\ 25&5\\ 5&5\\ 1 
\end{array}~~~\Rightarrow~~\boxed{\begin{array}{c} 75=3\cdot 5^2 
\end{array}}


\begin{array}{r|l} 90&2\\ 
45&3\\ 15&3\\ 5&5\\ 1 
\end{array}~~~\Rightarrow~~\boxed{\begin{array}{c} 90=2\cdot 3^2\cdot 5 
\end{array}}


\begin{array}{r|l} 120&2\\ 
60&2\\ 30&2\\ 15&3\\ 5&5\\ 1 
\end{array}~~~\Rightarrow~~\boxed{\begin{array}{c} 120=2^3\cdot 3\cdot 5
 \end{array}}

________________________

x é o maior valor, de forma que ele seja divisor dos três números. Então, devemos escolher dentre os fatores primos comuns dos três números, cada um deles elevados ao seu menor expoente:

\bullet\;\; os fatores primos comuns entre os três números são apenas 3 e 5;

\bullet\;\; o menor expoente para o 3 é 1; e o menor expoente para o 5 é 1.


Portanto,

x=3^1\cdot 5^1\\\\ x=3\cdot 5\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x=15\text{ metros} \end{array}}

Cada pedaço deve medir 15 metros.

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