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2014-05-03T21:18:14-03:00
Seja a função f(x)=\sqrt{r^2-x^2} e C a área do círculo de raio r. C seria, então, igual a

C=4.\int\limits^r_0 f(x) \ dx

Para calcular essa integral precisamos fazer uma mudança de variável. Fazendo x=r.\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta temos que dx=r.\cos\theta d\theta e, por causa da mudança de variável, os limites mudaram: o inferior continua a ser 0, mas o superior passa a ser \frac{\pi}{2}.

Substituindo tudo isso na integral teremos:

C=4.\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 \sqrt{r^2-r^2\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}\theta}.r\cos\theta \ d\theta\\ \\ C=4.\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0r.\sqrt{1-\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}\theta}.r\cos\theta \ d\theta \\ \\ C=4r^2.\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\cos\theta.\cos\theta \ d\theta

Agora temos que calcular a integral acima. Para isso, vamos nos utilizar da identidade \cos^2\theta=\frac{\cos(2\theta)+1}{2}. Substituindo na integral acima teremos:

C=4r^2\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{\cos(2\theta)+1}{2} \ d\theta \\ \\ C=2r^2\int\limits^\frac{\pi}{2}_0\cos(2\theta)+1 \ d\theta \Rightarrow C=2r^2(\int\limits^\frac{\pi}{2}_0\cos(2\theta) \ d\theta + \int\limits^\frac{\pi}{2}_01 \ d\theta)

Calculando a primeira integral dos parênteses acima encontramos \int\limits^\frac{\pi}{2}_0\cos(2\theta) \ d\theta =\frac12.\int\limits^\pi_0 \cos\phi \ d\phi = 0 e a segunda é facilmente calculável: seu valor é \frac{\pi}{2}. Substituindo esses valores na integral acima temos, finalmente, a fórmula para se calcular a área do círculo:

\boxed{\boxed{C=\pi r^2}}
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