Indagado com o número de ovelhas que possuía, um fazendeiro respondeu:
Não sei exatamente. Só sei que é menos que uma centena e, quando conto de duas em duas, sobra uma; quando conto de três em três, sobra uma e, quando conto de cinco em cinco, também sobra uma. Mas, quando conto de sete em sete, não sobra nenhuma.
É correto afirmar que:

2

Respostas

2014-05-03T22:32:58-03:00
O FAZENDEREIRO POSSUI 95 OVELHAS,, POIS 95 NÃO E DIVISEL NEM POR 2 E NEM POR 3
No no no... ta errada sua resposta!
A melhor resposta!
2014-05-03T22:48:29-03:00
Questão de divisibilidade e divisão de números :D

i) Lembra-se da prova real da divisão? Seja D o dividendo e d o divisor. Ao realizar a divisão você encontra quociente q e resto r. Pra saber se a divisão que você fez está certa tem que acontecer o seguinte:

D=d.q+r

Digamos que o fazendeiro tenha n ovelhas. Isso quer dizer que D=n. Agora vamos analisar três casos:

I) d=2 (quando o fazendeiro conta as ovelhas de 2 em 2)
n=2.q_2+1\Rightarrow 2q_2=n-1

(Vou colocar um índice nos quocientes, aquele número embaixo, pra diferenciar os quocientes das divisões nos três pontos. Diferentes divisores, diferentes quocientes :P)

II) d=3 (quando o fazendeiro conta de 3 em 3)
n=3.q_3+1\Rightarrow 3q_3=n-1

III) d=5 (quando ele conta de 5 em 5)
n=5.q_5+1\Rightarrow 5q_5=n-1

O que podemos obter de informação a partir dos pontos acima? Que n-1 é múltiplo comum de 2, 3 e 5, ou ainda, que n-1 é múltiplo de mmc(2,3,5). Calculando mmc(2,3,5) encontramos 30, isso quer dizer que, para k inteiro, teremos:

\boxed{n-1=30k\Rightarrow n=30k+1}

ii) O fazendeiro disse, também, que possui menos de 100 ovelhas, uma centena. Temos, então, apenas três possíveis valores para k para que n seja menor que 100.

a) k=1
n=30.1+1\Rightarrow \boxed{n=31}

b) k=2
n=30.2+1\Rightarrow \boxed{n=61}

c) k=3
n=30.3+1\Rightarrow \boxed{n=91}

Temos três possíveis valores para o número de ovelhas, mas ainda não usamos a última informação, que quando as ovelhas são contadas de 7 em 7 não sobra nenhuma. Isso quer dizer que n=7q_7, onde esse q_7 é um número inteiro.

iii) Analisando as três possibilidades para o valor de n encontramos apenas uma que satisfaça a última condição, a de 7 em 7, portanto esse é o número de ovelhas. Perceba que 91=7.13, daí

\boxed{\boxed{n=91}}
2 5 2
Vc é o cara! rsrsrs...
Que nada.... :$