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2014-05-05T21:43:52-03:00
O menor ângulo interno é o oposto ao menor lado, que mede 5 cm. Vamos chamá-lo de  \alpha .

Como conhecemos os três lados, vamos usar a Fórmula de Heron para calcular a área do triângulo:

S= \sqrt{p.(p-a).(p-b).(p-c)

Onde p é o semiperímetro: p= \frac{5+7+8}{2} = \frac{20}{2} =10 cm

S= \sqrt{10.(10-5).(10-7).(10-8) }=\sqrt{10.(5).(3).(2) }= \sqrt{300} =10 \sqrt{3} cm^{2}

A mesma área também pode ser calculada pela fórmula: S= \frac{a.b.sen \alpha }{2} , onde  \alpha é um ângulo entre dois lados a e b conhecidos. Logo:

S= \frac{a.b.sen \alpha }{2} =\frac{7.8.sen \alpha }{2}=28.sen \alpha cm^{2}

Agora, igualamos os valores calculados da área do triângulo:

28.sen \alpha=10 \sqrt{3}

sen \alpha= \frac{10 \sqrt{3}}{28} =\frac{5 \sqrt{3}}{14}

Para encontrar o valor do cosseno, basta usar a relação trigonométrica: sen^{2} \alpha  + cos^{2} \alpha  =1

cos^{2} \alpha  =1-sen^{2} \alpha

cos \alpha  = \sqrt{1-sen^{2} \alpha} ⇒ escolhemos apenas o valor positivo do cosseno, pois o ângulo  \alpha é agudo, que faz com que esteja no 1º quadrante do círculo trigonométrico. Isso é facilmente dedutível pois: 8^{2} < 5^{2} + 7^{2} 64 < 25 + 4964<74 ⇒ o triângulo é acutângulo, ou seja, todos os seus ângulos são agudos.

cos \alpha  = \sqrt{1-( \frac{5 \sqrt{3} }{14} )^{2}}

cos \alpha = \sqrt{1-\frac{75 }{196}}

cos \alpha = \sqrt{\frac{196-75 }{196}}

cos \alpha = \sqrt{\frac{121 }{196}}

cos \alpha =\frac{11 }{14}

2 5 2