Respostas

2014-05-08T11:53:57-03:00
I) Seja r: y=mx+n a reta tangente procurada. Temos que, como ela é tangente à curva no ponto x=2, o valor de m é dado por m=f'(2). Calculando seu valor teremos:

f(x)=\frac1x=x^{-1}\Rightarrow f'(x)=-1.x^{-2}=-\frac{1}{x^2} \\ \\ f'(2)=-\frac{1}{2^2}\Rightarrow \boxed{m=-\frac14}

ii) Temos o coeficiente angular da reta r, falta o linear. Para encontrá-lo temos que saber um ponto da reta, o que sabemos! Como a reta é tangente à curva no ponto de abscissa x=2 temos que o ponto P=(2,\frac12) pertence tanto à curva quanto à reta. Substituindo os valores das coordenadas de P em r teremos:

y=-\frac14x+n\Rightarrow \frac12=-\frac14.2+n\Rightarrow \boxed{n=1}

Agora que temos os valores de m e n podemos escrever a equação da reta tangente:

\boxed{\boxed{r: y=-\frac14x+1}}
1 5 1