Disponho de um capital de R$2.000,00 para iniciar um pequeno empreendimento,necessito de R$5.000,00.Por esse motivo deixarei esse capital aplicado a juros compostos a taxa de 20% ao ano (a.a).nessas condições,qual o período de tempo necessário para que eu consiga o montante almejado para iniciar o empreendimento?(Dados: log 5=0,69, log 2 = 0,3 e log 1,2 = 0,079)

a) 4 anos b) 5 anos c)6 anos d)10 anos e)15 anos

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Respostas

2014-05-09T20:41:12-03:00

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temos:\begin{cases}C=R\$~2.~000,00\\
M=R\$~5.~000,00\\
taxa~i=20\%~a.a.~\to~i=20/100~\to~i=0,2\\
tempo~t=?\end{cases}

Usando a fórmula do juro composto, vem:

M=C(1+i) ^{t}\\
5.~000=2.000*(1+0,2) ^{t}\\
5.000/2.000=1,2 ^{t}\\\\
5.\boxed{10 ^{3}}/2.\boxed{10 ^{3}}=1,2 ^{t}\\\\
5/2=1,2 ^{t}\\\\aplicando~log~dos~dois~lados,~temos:\\\\
log5/2=log1,2 ^{t}

aplicando~a~p2~(log~do~quociente)\\\\
\boxed{log \frac{a}{b}~\to~loga-logb}\\\\\\
e~a~p3~(log~da~potencia)\\\\
\boxed{logb ^{n}~\to~n*logb},~temos:

log5-log2=t*log1,2\\\\
substituindo~os~valores~de~log, ~vem:\\\\
0,69-0,3=0,079t\\
0,39=0,079t\\
t=0,39/0,079\\\\
\boxed{t\approx5~anos}~\to~Alternativa~B


Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =)