Num terreno, na forma de triângulo retângulo, com catetos de medidas 60 metros e 80 metros, Sr. Pedro construiu uma casa retangular com a maior área possível, como na figura a seguir: Qual é a medida da área do terreno destinado à construção da casa em metros quadrados?

1

Respostas

2014-05-09T22:25:05-03:00
Chamemos a largura do terreno de X e a altura deste de Y. A área do terreno será, portanto, XY.

O cateto que mede 60m pode ser dividido em duas partes: X e (60 - X).
O cateto que mede 80m pode ser dividido também em duas partes: Y e (80 - Y).

Por semelhança entre os dois triângulos não sombreados, tem-se:

 \frac{80 - Y}{Y}  =  \frac{X}{60-X}
(80 - Y)(60 - X) = XY
4800 - 60Y - 80X +XY = XY
60Y = 4800 - 80X
Y = 80 -  \frac{4X}{3}

Com base nisso, podemos reescrever a área do terreno como:
X.(80- \frac{4X}{3} ) = - \frac{4X^{2} }{3} + 80X

Para achar a área máxima do terreno basta achar o valor máximo desta equação de 2º grau (Yv). (a = -4/3; b = 80; c = 0)

Yv = -Δ/4a = -(b² - 4ac)4a = 1200m².


22 4 22
Existe uma outra malandragem nesse tipo de questão: Para achar a resposta, basta multiplicar os catetos e dividir por quatro. No caso 80x60/4 = 1200. Mas não funciona em todos os casos, não.