Vai logooo Cazzo... tenho que ir pra aula já já -.-"
Não vai deixar o matemático orgulhoso se demorar muito, ele já falou que era pra ter respondido a muito tempo...
A net dele vai acabar caindo fica vendo .
É desculpa pra não responder, fica só vendo ;)
Eae Felipe, corre o Risco da resposta sair?!

Respostas

A melhor resposta!
  • Usuário do Brainly
2014-05-13T13:13:11-03:00
5x^2-4xy+8y^2+4\sqrt{5}*(x-4y)=-4

Temos que escrever da seguinte maneira

X^TAX+BX+C=0

\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}5&-2\\-2&8\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4\sqrt{5}&-16\sqrt{5}\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}+4=0

Vamos diagonalizar a matrix A, pegando os autovetores e autovalores

det(A-\lambda*I)=0

\begin{vmatrix}5-\lambda&-2\\-2&8-\lambda\end{vmatrix}=0

\lambda^2-13\lamda+40-4=0

\lambda^2-13\lamda+36=0

\lambda_1=4~~e~~\lambda_2=9


ai vamos lá ;)

(A-\lambda*I)*V=0

para \lambda=4

\begin{bmatrix}5-\lambda&-2\\-2&8-\lambda\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}=0

\begin{bmatrix}5-4&-2\\-2&8-4\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}=0

\begin{bmatrix}1&-2\\-2&4\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}=0

\begin{Bmatrix}x_1-2y_1&=&0\\-2x_1+4y_1&=&0\end{matrix}

\begin{Bmatrix}x_1-2y_1&=&0\\0&=&0\end{matrix}

com o grau de liberdade temos

\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}=\alpha\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}

para \lambda=9

\begin{bmatrix}5-\lambda&-2\\-2&8-\lambda\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}=0

\begin{bmatrix}5-9&-2\\-2&8-9\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}=0

\begin{bmatrix}-4&-2\\-2&-1\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}=0

\begin{Bmatrix}-4x_2-2y_2&=&0\\-2x_2-y_2&=&0\end{matrix}

\begin{Bmatrix}-2x_2-y_2&=&0\\0&=&0\end{matrix}

\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}=\beta\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}

Agora fazendo os vetores unitários temos:

P=\begin{bmatrix}\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{-1}{\sqrt{5}}\\\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{2}{\sqrt{5}}\end{bmatrix}

Sabendo que:

P^TAP=D

X=PX'

X^TP^TAPX+BPX+C=0

\boxed{X'^TDX'+BPX'+C=0}

agora vamos trabalhar com isso ;)

X'=\begin{bmatrix}\overline{x}\\\overline{y}\end{bmatrix}

então

\begin{bmatrix}\overline{x}&\overline{y}\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}4&0\\0&9\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}\overline{x}\\\overline{y}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4\sqrt{5}&-16\sqrt{5}\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{-1}{\sqrt{5}}\\\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{2}{\sqrt{5}}\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}\overline{x}\\\overline{y}\end{bmatrix}+4

4\overline{x}^2+9\overline{y}^2-8\overline{x}-36\overline{y}+4=0

montando quadrados

4\overline{x}^2-8\overline{x}+9\overline{y}^2-36\overline{y}+4=0

4(\overline{x}^2-2\overline{x})+9(\overline{y}^2-4\overline{y})+4=0

Olha mais uma transformação de base chegando ai ;)

4(\overline{x}^2-2\overline{x}+1)-4+9(\overline{y}^2-4\overline{y}+4)-36+4=0

4(\overline{x}-1)^2-4+9(\overline{y}-2)^2-36+4=0

4(\overline{x}-1)^2+9(\overline{y}-2)^2=36

\begin{Bmatrix}\overline{\overline{x}}&=&\overline{x}-1\\\overline{\overline{y}}&=&\overline{y}-2\end{matrix}

4\overline{\overline{x}}^2+9\overline{\overline{y}}^2=36

multiplicando tudo por \frac{1}{36}

\boxed{\boxed{\frac{\overline{\overline{x}}^2}{9}+\frac{\overline{\overline{y}}^2}{4}=1}}

E não é que nós temos mais uma elipse ai?! Que belezura de exercício ;)
3 5 3
Certeza que está correta sua resolução?
Então, deixo ai a dúvida pra alguém contestar ^^
:).
Só garanto que a pessoa que contestar vai viajar pelo mais escuro da vida ;D... Minha especialidade é só essa matéria huahua... Eu não lembrava como fazer isso, agora eu lembro huahua, ai é onde mora o perigo huahua kkkkkkk...
2014-05-13T17:40:24-03:00
Bem, farei de uma forma mais "simples". Façamos uma rotação do eixo cartesiano em torno da origem, para sumir com aquele termo em xy.
Quando a equação de uma cônica possui esse termo ela é inclinada, a reta que liga seus focos (elipse e hipérbole) ou a reta geratriz (parábola) não é paralela ao um dos eixos coordenados, então ao rotacionarmos os eixos por um θ conveniente podemos fazer com que a reta geratriz ou que liga os focos fique paralela a um dos eixos, sumindo com o termo em xy e trabalhando melhor com a equação.

i) Antes de mais nada é preciso saber as fórmulas para a rotação:

x_P=x'_P\cos\theta-y'_P\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta\\ y_P=x'_P\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta+y'_P\cos\theta

Onde (x'_P,y'_P) são as coordenadas do ponto P depois de rotacionadas, cujas coordenadas "originais" são (x_P,y_P).

Agora que temos essas fórmulas podemos rotacionar os eixos e fazer com que o termo em x'y' seja igual a 0. Para isso, vamos substituir as fórmulas acima na equação dada, procurar os termos em x'y' e igualá-los a 0:

5x^2=5(x'\cos\theta-y'\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta)^2\\
 \\ 
5x^2=5((x')^2\cos^2\theta-2.x'y'\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta\cos\theta+(y')^2\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}\theta)\\
 \\ 
5x^2=5(x')^2\cos^2\theta-5x'y'\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}(2\theta)+5(y')^2\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}\theta
_____________________________________

4xy=4(x'\cos\theta-y'\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta)(x'\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta+y'\cos\theta)\\
 
\\4xy=4((x')^2\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta\cos\theta+x'y'(\cos^2\theta-\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}\theta)-(y')^2\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta\cos\theta)\\
 \\ 
4xy=2(x')^2\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}(2\theta)-2(y')^2\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}(2\theta)+4x'y'\cos(2\theta)
______________________________________

8y^2=8(x'\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta+y'\cos\theta)^2\\
 \\ 
8y^2=8((x')^2\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}\theta+2x'y'.\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta\cos\theta+(y')^2\cos^2\theta)\\
 \\ 
8y^2=8(x')^2\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}\theta+8x'y'.\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}(2\theta)+8(y')^2\cos^2\theta

Agora vamos somar os termos com x'y' e igualar a 0:

-5\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}(2\theta)-4\cos(2\theta)+8\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}(2\theta)=0\\ \\ 3\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}(2\theta)=4\cos(2\theta)\\ \\ \boxed{\mathrm{tg}\hspace{0,2mm}(2\theta)=\frac43}

ii) Temos o valor da tangente de 2\theta, mas precisamos saber do seno e cosseno de \theta. A partir da tangente do arco-duplo temos:

\mathrm{tg}\hspace{0,2mm}(2\theta)=\frac{2\mathrm{tg}\hspace{0,2mm}\theta}{1-\mahtrm{tg}^2\hspace{0,2mm}\theta}=\frac43\\ \\ 2-2\mathrm{tg}^2\hspace{0,2mm}\theta=3\mathrm{tg}\hspace{0,2mm}\theta

Resolvendo essa equação do 2º grau em \mathrm{tg}\hspace{0,2mm}\theta encontramos dois possíveis valores, mas só ficaremos com o positivo (basta rotacionar o plano por um ângulo entre 0 e \frac{\pi}{2}). Vamos usá-lo para encontrar os valores do seno e cosseno:

\mathrm{tg}\hspace{0,2mm}\theta=\frac12\Rightarrow \boxed{\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta=\frac{1}{\sqrt5}} \ \mathrm{e} \ \boxed{\cos\theta=\frac{2}{\sqrt5}}

iii) Temos todos os dados necessários para resolver essa questão, basta, agora, substituir os seno e cosseno encontrados onde é preciso e simplificar. Como essa parte é a mais trivial do problema deixarei-a a cargo do leitor interessado.
Após simplificada temos a seguinte equação:

4(x')^2+9(y')^2-8x'-12y'+4=0

Completando quadrados encontramos:

4(x')^2-8x'+4+9(y')^2-12y'+4=4\\ \\ 4(x'-1)^2+(3y'-2)^2=4\\ \\ 4(x'-1)^2+9(y'-\frac23)^2=4\\ \\ \boxed{\boxed{\frac{(x'-1)^2}{1}+\frac{\left(y'-\frac23\right)^2}{(2/3)^2}=1}}

A equação acima representa uma elipse. Como ao rotacionar não alteramos a forma da cônica temos que a equação original também representa uma elipse.


Segue uma imagem do que seria essa rotação. As fórmulas podem ser deduzidas com trigonometria básica. Deixo ao leitor interessado a verificação de tais fórmulas.
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xDDD
Mas é sério, é a parte mais simples, só não coloquei na resposta por dois motivos: i) ia deixar maior a solução, que já tá grande; ii) preguiça .-.
Você fez a mesma resolução que eu, só mudou que não fez autovetores e autovalores huahuahua ;D... mas o P seria a matriz de rotação :P ^^
Mesmo assim, gostei ;)
Queria entender mesmo essa parada de matriz de rotação... Vi que ela apareceu ali no meio da tua resolução também :P
Depois eu te passo um arquivo da USP sobre Transformações Geométricas, é bastante usado para programação ^^