Como achar o menor número natural (t) que satisfaça essas condições:

60t-1 ≡ 1 (mod2) ≡ 2 (mod3) ≡ 3 (mod4) ≡ 4 (mod5) ≡ 5 (mod6) ≡ 0 (mod7)


1
É 60t - 1 mesmo!? DDD:
Ah, deixa, entendi :P
é, a resposta é 2, mas não sei explicar o porque
Tu viu quais propriedades de congruências?
Todas desse link: http://pt.wikipedia.org/wiki/Congru%C3%AAncia_(%C3%A1lgebra)

Respostas

A melhor resposta!
2014-05-14T22:11:13-03:00
Questãozinha relativamente simples, se vista da forma certa, onde tem-se que usar as propriedades de congruências.

Temos as seguintes congruências:

\begin{array}{l}60t-1\equiv1(\mathrm{mod}\ 2)\Rightarrow 60t\equiv2(\mathrm{mod}\ 2)\\ 60t-1\equiv2(\mathrm{mod}\ 3)\Rightarrow 60t\equiv3(\mathrm{mod}\ 3)\\ 60t-1\equiv3(\mathrm{mod}\ 4)\Rightarrow 60t\equiv4(\mathrm{mod}\ 4)\\ 60t-1\equiv4(\mathrm{mod}\ 5)\Rightarrow 60t\equiv5(\mathrm{mod}\ 5)\\ 60t-1\equiv5(\mathrm{mod}\ 6)\Rightarrow 60t\equiv6(\mathrm{mod}\ 6)\\ 60t-1\equiv0(\mathrm{mod}\ 7)\Rightarrow 60t\equiv1(\mathrm{mod}\ 7)\end{array}

Note que as cinco primeiras congruências acima são válidas para todo valor de t. Sendo assim, temos que trabalhar apenas com a última delas.

Perceba que 60\equiv4(\mathrm{mod}\ 7), daí 60t\equiv4t(\mathrm{mod}\ 7). Portanto:

4t\equiv1(\mathrm{mod}\ 7)\Rightarrow 2.4t\equiv2(\mathrm{mod}\ 7)\\ \\ 8t\equiv2(\mathrm{mod}\ 7) {8\equiv1(\mathrm{mod}\ 7)\atop \Longrightarrow} t\equiv2(\mathrm{mod}\ 7)\\ \\ \boxed{t=7n+2}

Encontramos uma expressão para t e como queremos o menor valor natural que t pode assumir temos que fazer n=0. Ou seja:

\boxed{\boxed{t=2}}
2 5 2