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2014-05-20T12:22:05-03:00

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log _{2}(3x-1)-log _{4}(x+1)=1/2


Condição de existência para o logaritmando: \begin{cases}3x-1>0~~~~~~~~~~~~x+1>0\\
3x>1~~~~~~~~~~~~~~~~~x>-1\\
x>1/3\end{cases}

Como os logaritmos estão em bases diferentes, (4 e 2), vamos passa-los para a menor base, base 2:

log _{2}(3x-1)- \frac{log _{2}(x+1) }{log _{2}4 }=1/2\\\\
log _{2}(3x-1)- \frac{log _{2}(x+1) }{2}=1/2\\\\
2*log _{2}(3x-1)-log _{2}(x+1)=2*(1/2)\\\\
2log _{2}(3x-1)-log _{2}(x+1)=1

________________________

Usando a p2 (logaritmo do quociente)

log _{a}b-log _{a}c~\to~log _{a} \frac{b}{c}

  \frac{2log _{2}(3x-1) }{log _{2}(x+1) }=1

Usando a definição, vem:

 \frac{2log _{2}(3x-1)}{log _{2}(x+1) }=log _{2}2

Como as bases são iguais, podemos elimina-las:

 \frac{2(3x-1)}{x+1}=2\\\\
2(3x-1)=2(x+1)\\
6x-2=2x+2\\
6x-2x=2+2\\
4x=4\\
x=4/4\\
x=1

Vemos portanto, que não há nenhuma impossibilidade de acordo com a condição de existência, portanto:


\boxed{S=\{1\}}


Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))
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