Analisar a seguinte questão: Para um determinado produto, a receita R, em reais, ao se
comercializar a quantidade x, em unidades, é dada pela função: R = - 2 x² + 1000 x. Agora
resolva as seguintes questões:
a) Calcule a derivada R´(100). Qual a unidade dessa derivada? O que ela representa
numericamente? O que ela representa graficamente?
b) Quantas unidades devem ser comercializadas para que a receita seja máxima?
c) Qual a receita máxima correspondente ao item anterior?

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Respostas

A melhor resposta!
2014-05-20T15:32:27-03:00
Derivando R = -2x² + 1000x.
- vamos chamar a derivada de R', como estamos trabalhando com uma potencia, usamos a seguinte regra:
f(x) = a^x => f '(x) = x.a^(x-1), logo:
R = -2x² + 1000x => R' = -2.2x²⁻¹ + 1.1000x¹⁻¹ => R' = -4x + 1000

a) R' (100) = -4(100) + 1000 => R'(100) = 600.
A receita esta ligada ao preço e a quantidade vendida (x), observe que quanto mais se vende (x) menos receita você terá.

b) Observe que a função receita é de 2º grau (R = -2x² + 1000x), onde a >0, logo sua concavidade está voltada para baixo. No vértice (-b/2a; -Δ/4a) está a receita máxima e a quantidade máxima a ser vendida. Logo:
- quantidade máxima p/ a receita ser máxima => x = -b/2a => x = -1000/2(-2) => 
=> x = 1000/4 => x = 250.
- a receita máxima corresponde ao ponto y do vértice => y = -Δ/4a
Δ = b² - 4ac => Δ = (1000)² - 4(-2)(0) => Δ = 1.000.000
y = -1.000.000/4(-2) => y = 1.000.000/8 => y = 125.000

Para que a receita seja máxima (125.000) dverão ser comercializadas 250 unidades do produto.
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Muitissimo obrigado, Deus te abençoe. Não tem idéia de como me ajudou, estou num grupo da faculdade que não me ajuda em nada, e eu estava com muito medo de me sair mal, obrigado de coração.
Por nada, estamos aqui pra isso. Fique a vontade para mandar mais questões, se possível iremos aprender juntos.