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2014-05-21T03:17:08-03:00

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Olá Natália,

primeiramente quero que você veja os termos de uma progressão geométrica, expostos genericamente:

a _{1}\\
a _{2}=a _{1}*q\\
a _{3}=a_{1}*q ^{2} \\
a _{4}=a _{1}*q ^{3}\\
a _{5}=a _{1}*q ^{4}\\
.~~~~~~~~~~~~.\\
.~~~~~~~~~~~~.

Do problema, temos que:

\begin{cases}a _{2}-a _{1}=9\\
a _{5}-a _{4}=576 \end{cases}~\to~\begin{cases}(a _{1}*q)-a _{1}=9~~(I)\\
(a _{1}*q ^{4})-(a_{1}*q ^{3})=576~~(II)\end{cases}

Agora vamos fatorar as equações I e II, de modo que elas tenham fatores comuns:

\begin{cases}a _{1}*(q-1)=9~~(I)\\
a _{1}*q ^{3}*(q-1)=576~~(II)   \end{cases}

Sabendo-se que a _{1}(q-1)=9 na equação I, pode ser substituído na

equação II, então vamos, fazê-lo:

9q ^{3}=576\\
q ^{3}=576/9\\
q ^{3}=64\\
q= \sqrt[3]{64}\\
q=4

Se a razão q, vale 4, podemos substituí-la facilmente em uma das equações, vamos pela 1ª:

a _{1}(q-1)=9\\
a _{1}*(4-1)=9\\
3a_{1}=9\\
a _{1}=9/3\\\\
\boxed{a _{1}=3}~\to~primeiro~termo~da~progressao


Espero que tenha entendido e tenha ótimos estudos =))