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2013-06-25T23:57:37-03:00

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Olá, Bixo.

 

2\text{sen}^2(x)+7\text{sen }x+3\leq 0

 

Façamos a seguinte mudança de variável, de forma a facilitar a solução:

 

\text{sen }x=y\Rightarrow2y^2+7y+3\leq 0

 

O polinômio 2y^2+7y+3 possui duas raízes, pela Fórmula de Bhaskara:

 

\boxed{y_1=-\frac{1}{2}\text{ e }y_2=-3}

 

Como este polinômio é uma parábola com a concavidade para cima, uma vez que o termo que acompanha  y  é positivo, então, entre as raízes temos:

 

 2y^2+7y+3\leq0 \Rightarrow -3 \leq y \leq -\frac12\Rightarrow-3\leq \text{sen }x \leq -\frac12

 

Como a função sen(x) possui domínio limitado ao intervalo [-1,1], então devemos ter:

 

-1\leq \text{sen }x \leq -\frac12\Rightarrow \text{arcsen }(-1)\leq x\leq\text{arcsen }(-\frac12)

 

\therefore \frac{3\pi}2 \leq x \leq \frac{11\pi}6\text{ ou }\frac{7\pi}6 \leq x \leq \frac{3\pi}2 \Rightarrow\boxed{\frac{7\pi}6 \leq x \leq\frac{11\pi}6}

 

Lembrando que:

 

\frac{7\pi}6=\pi+\frac\pi 6\text{ e }\frac{11\pi}6=2\pi-\frac\pi 6

 

Veja o gráfico que juntei em anexo, para auxiliar no entendimento.