(Ufg 2004) Para medir a área de uma fazenda de forma triangular, um agrimensor, utilizando um sistema de localização por satélite, encontrou como vértices desse triângulo os pontos A(2,1), B(3,5) e C(7,4) do plano cartesiano, com as medidas em km. A área dessa fazenda, em km², é de:
a) 17/2
b) 17
c) 2√17
d) 4
17
e) (
17)/2

Sei que a alternativa correta e letra A), mas preciso da resoluçao, usando formulas de geometria analítica, não modulo.

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2014-05-23T23:49:02-03:00

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Olá, Celso.

Como se pode ver no desenho em anexo, a base b do triângulo é a distância entre os pontos A e C e sua altura h é a distância entre o ponto B e a reta determinada por AC.

Base:
b=d_{AC}=\sqrt{(2-7)^2+(1-4)^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}

Equação da reta determinada por AC:
1) Coeficiente angular: m=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{4-1}{7-2}=\frac35
2) Coeficiente linear: y_A=mx_A+p\Rightarrow 1=\frac35\cdot2+p\Rightarrow p=1-\frac65=\frac{5-6}{5}=-\frac15
3) Equação da reta: y=\frac35x-\frac15\Rightarrow 5y=3x-1\Rightarrow -3x+5y+1=0

Altura (distância do ponto B à reta determinada por AC):
h=d_{B,AC}=\frac{|-3\cdot3+5\cdot5+1|}{\sqrt{(-3)^2+5^2}}=\frac{|-9+25+1|}{\sqrt{34}}=\frac{17}{\sqrt{34}}

Área:
\frac{bh}{2}=\frac{\sqrt{34}\cdot\frac{17}{\sqrt{34}}}2=\boxed{\frac{17}{2}}
7 3 7
Poderia me dizer qual a formula que você usou para descobrir a Altura (distância do ponto B à reta determinada por AC):
Celso, a fórmula que você citou é aquela da distância de um ponto (x0,y0) até uma reta ax + by + c = 0. A fórmula é dada por: d = |ax0 + by0 + c| / √[(x0)² + (y0)²], ok?
Obrigado