(FUVEST-2010) Seja n um número inteiro, n  0. a) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Luís e Antônio. b) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Pedro, Luís e Antônio. c) Considere, agora, um número natural k tal que 0  k  n.Supondo que cada uma das distribuições do item b) tenha a mesma chance de ocorrer, determine a probabilidade de que, após uma dada distribuição, Pedro receba uma quantidade de bolas maior ou igual a k. Observação: Nos itens a) e b), consideram-se válidas as distribuições nas quais uma ou mais pessoas não recebam bola alguma.

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Respostas

2013-03-05T14:44:17-03:00

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(a) As maneiras possíveis de distribuição das bolas formam o seguinte conjunto de pares:

S=\{(0,n),(1,n-1),...,(n-1,1),(n,0)\},

onde (a,b) é tal que a é o n.º de bolas de Luís e b é o n.º de bolas de Antônio.

 

S , portanto, tem n+1 elementos.

 

Resposta: n+1

 

 


(b) As maneiras possíveis de distribuição das bolas formam os seguintes conjuntos de ternas:

S_0=\{(0,0,n),(0,1,n-1),...,(0,n,0)\},

 

S_1=\{(1,0,n-1),(1,1,n-2),...,(1,n-1,0)\}

 

\vdots

 

S_{n-2}=\{(n-2,0,2),(n-2,1,1),(n-2,2,0)\}

 

S_{n-1}=\{(n-1,0,1),(n-1,1,0)\}

 

S_n=\{(n,0,0)\}

onde (a,b,c) é tal que a é o n.º de bolas de Pedro, b é o n.º de bolas de Luís e c é o n.º de bolas de Antônio.

S_n tem 1 elemento.

 

S_{n-1} tem 2 elementos.

 

S_{n-2} tem 3 elementos.

\vdots

 

S_{1} tem n elementos.

 

S_{0} tem n+1 elementos.

 

O total de maneiras possíveis de distribuição das bolas é, portanto:

 

=1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1)

 

Esta soma é uma PA de n termos, razão 1 e último termo n+1.

 

O valor dessa soma é:

 

=\frac{(n+1).(1+n+1)}2=\frac{(n+1).(n+2)}2

Resposta: \frac{(n+1).(n+2)}2

 

 


(c) N.º de maneiras possíveis de distribuição de uma certa quantidade de bolas maior que  k  tal que 0 \leq k \leq n:

 

=\underbrace{1 + ... + (n-k+1)}_{outra\ PA} = \underbrace{\frac{(n-k+1)(1+n-k+1)}2}_{f\'ormula\ da\ soma\ de\ PA}=

 

\frac{(n-k+1)(n-k+2)}2

 

O n.º total de maneiras possíveis de distribuição das bolas já foi calculado na letra (b).

 

Portanto a probabilidade procurada é o quociente entre o n.º de maneiras maior que  k  e o n.º total de maneiras possíveis:

 

=\frac{(n-k+1)(n-k+2)}2 : \frac{(n+1)(n+2)}2 = \frac{(n-k+1)(n-k+2)}{(n+1)(n+2)}   (resposta)

 

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