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2014-05-29T23:50:27-03:00

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O exercício pede o domínio da função, que é o conjunto de valores que x pode assumir

Já que se trata de uma função logarítmica, as condições de existência dos logaritmos devem ser respeitadas:

log_{b}(a)=c\rightleftharpoons b^{c}=a

a ---> Logaritmando. a > 0
b ---> Base. b > 0 e b ≠ 1
_______________________

f(x)=log_{10}[log_{\frac{1}{3}}(x^{2}-x+1)]

A base é 10 e o logaritmando é log(1/3) (x² - x + 1)

Esse logaritmando deve ser maior que zero, pra respeitar as condições de existência

logaritmando>0\\log_{\frac{1}{3}}(x^{2}-x+1)>0

O problema é resolver essa inequação, muitos erram no sinal de desigualdade

log_{\frac{1}{3}}(x^{2}-x+1)>0\\log_{(3^{-1})}(x^{2}-x+1)>0

Propriedade: \boxed{log_{(b^{x})}(a)=\frac{1}{x}*log_{b}(a)}

(1/[-1])*log_{3}(x^{2}-x+1)>0\\(-1)*log_{3}(x^{2}-x+1)>0

Multiplicando os 2 lados por -1 e mudando o sinal de desigualdade:

(-1)(-1)*log_{3}(x^{2}-x+1)<(-1)*0\\log_{3}(x^{2}-x+1)<0

Agora podemos aplicar a definição de logaritmos:

x^{2}-x+1<3^{0}\\x^{2}-x+1<1\\x^{2}-x<0

Resolvendo a inequação:

Calculando as raízes da equação:

x^{2}-x=0\\x*(x-1)=0\\\\x=0\\\\x-1=0~\therefore~x=1

Fazendo o estudo de sinais (imagem anexa)

A inequação pede valores menores que zero, logo os valores de x que farão parte do domínio estão entre as raízes 0 e 1, não as incluindo, pois são raízes e anulariam a função.

Resposta em intervalos:
D=]0,1[

Resposta em notação de conjuntos:
D=\{x\in\mathbb{R}/0<x<1\}
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