Função Quadrática:Para construir um cercado em forma de um retângulo, Frederico tinha recursos financeiros para fazer apenas 80 metros de cerca e resolveu aproveitar uma parte reta de um muro para economizar e construiu, com três lances de cerca, um cercado retangular de área máxima. Qual a área desse cercado?

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Se ajudar, vejam meu progresso até agora: Determinei que o valor de é x=80-2y, e o de y é y=80-40-y, multipliquei os dois e cheguei à equação para determinar a áre A=3200+100y+2y². Porém, receio que a maior parte possa estar errada.

Respostas

A melhor resposta!
2014-06-01T16:18:34-03:00
Vou resolver da mesma forma que resolvi uma outra questão, só analisando o \Delta.

i) Vamos trabalhar, por enquanto, com a única coisa que nos foi dada, que é a quantidade de cerca que foi usada. Um retângulo possui quatro lados, mas em um desses lados ele não usou cerca, portanto a quantidade de cerca utilizada para delimitar o terreno foi usada criando dois lados de mesma medida e um de uma outra medida. Chamando de x e y as dimensões do terreno formado teremos:

2x+y=80\Rightarrow y=80-2x

É sabido que a área de um terreno retangular é igual ao produto de suas dimensões, logo, chamando a área de S, teremos:

S=x.y\Rightarrow S=x(80-2x)\Rightarrow S=80x-2x^2\\ \\ \boxed{2x^2-80x+S=0}

ii) Para que seja possível existir esse terreno tem que existir a dimensão x, ou seja, tem que ser possível resolver a equação acima. Para que uma equação tenha resposta é necessário que \Delta\geq0. Daí:

(-80)^2-4.2.S\geq0\\ \\ 6400-8S\geq0\\ \\ 8S\leq6400\\ \\ \boxed{S\leq800 \ m^2}

Note que S é menor ou igual que 800, portanto o maior valor que S pode assumir é quando ocorre a igualdade. Logo a área máxima do terreno será de 800 m².

R: \bf{\underline{S=800\ m^2}}
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Muito bom. Nunca tinha visto este método de resolução, obrigado.
Great work Felipe :D
Foi que imaginei esse meio especialmente para uma outra questão (http://brainly.com.br/tarefa/666471), daí vi que ele poderia ser usado nessa também. Acabou que deu a resposta esperada mesmo :D
Ah, por nada, Whats, e valeu, 452! :D