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2014-06-07T15:13:28-03:00
a1 + a3 + a5 + ... +  ... + a2n-1  = 70 (soma dos termos de ordem ímpar). (Equação 1)
a2 + a4 + a6 + ... + ... + a2n = 85 (soma dos termos de ordem par). (Equação 2)


Somando membro a membro as duas igualdades acima, obteremos:
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ... + 
a2n-1 + a2n = 70 + 85 = 155 (Equação 3)

Ora, sendo 2n o número de termos da PA,  a soma dos termos do primeiro membro é igual a S2n (soma dos 2n primeiros termos da progressão aritmética). 
Logo, S2n = 155.
O problema nos diz que a soma dos extremos vale 31, ou seja: a1 + a2n = 31.

Usando a fórmula da soma dos termos de uma PA, vem:
S2n = [(a1 + a2n).2n] / 2 
155 = (31.2n) / 2 155 = 31n e, daí, vem que n = 5 .
Subtraindo a equação 1 da equação 2 , obteremos:
(a2 – a1) + (a4 – a3) + (a6 – a5) + ... + (a2n – a2n-1) = 85 – 70 = 15
(a2 – a1) + (a4 – a3) + ... +  ... = 85 - 70 = 15
Como a2 – a1 = a4 – a3 = ... = r = razão da PA , vem:
r + r + r + ... + r = 15
Já sabemos que n = 5 e, portanto, 5 termos iguais a r. Logo, vem:
5r = 15
 \ r = 3 ( a razão da PA é igual a 3).
Para escrever a PA. , falta apenas achar o valor do primeiro termo a1.
A partir de n = 5, a equação 3 acima pode ser escrita como:
a1 + a2 + a3 + ... + a9 + a10 = 155
Como an = a1 + (n-1).r, poderemos escrever a igualdade acima como:
a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + ... + (a1 + 9r) = 155

E como são 10 termos, vem: (a1 somado 10 vezes):
2 5 2