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2014-06-08T19:44:38-03:00
\boxed{\boxed{ \int\limits_c f(x,y)\, dx= \int\limits^b_a f(C)*|C(t)|\, dt}}

seguindo isso 

o enunciado diz que
 C=\left \{ {{y=t^3} \atop {x=3t}} \right. \\\\\boxed{C(t)=(3t)\vec i + (t^3) \vec j}


o módulo da derivada de C(t) 
C'(t)=3+3t^2\\\\\\\\|C'(t)|= \sqrt{3^2+(3t^2)^2} = \sqrt{3+3t^4} =3 \sqrt{1+t^4}

\boxed{f(x,y)=x^3+y}\\\\f(C)=(3t)^3+t^3=27t^3+t^3=28t^3

e tambem diz que  t esta no intervalo de 0 a 1 ( t ∈ [0,1])

substituindo os valores na integral

\boxed { \int\limits^1_0 28t^3*3 \sqrt{1+t^4} \, dt}

agora é só resolver essa integral

reescrevendo 

 \int\limits^1_0 28t^3*3 \sqrt{1+t^4} \, dt\\\\\\\\ 28*3 \int\limits^1_0 t^3* \sqrt{1+t^4} \, dt\\\\\\\boxed{\boxed{84\int\limits^1_0 t^3* \sqrt{1+t^4} \, dt}}

integrando por substituição

u=t^4+1\\\\du=4t^3.dx\\\\ \frac{du}{4t^3} =dx

substituindo os valores de u e dx

]84* \int\limits^1_0 {\not t^3} \sqrt{u}. \frac{du}{4\not t^3} \\\\ \frac{84}{4} \int\limits^1_0 { \sqrt{u} } \, du \\\\\\ \boxed{ \boxed{21 \int\limits^1_0 {u^{ \frac{1}{2} }} \, du }}

integrando
21 *[ \frac{u \frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} ] = \frac{21*2 \sqrt{u^3} }{3} =\boxed{14 \sqrt{u^3} }

substituindo o valor de u por t^4 +1

14 \sqrt{(t^4+1)^3}

substituinto t =1 e subtraindo por t=0

\boxed{t=1}\to14 \sqrt{(1^4+1)^3} =14 \sqrt{8} \\\\\boxed{t=0}\to 14 \sqrt{(0^4+1)^3}=14\\\\\\\\14 \sqrt{8} -14\\\\14( \sqrt{8}-1)

sabendo que √8 = 2√2

temos 

14(2 \sqrt{2} -1)

resposta

\boxed{\boxed { \int\limits^1_0 28t^3*3 \sqrt{1+t^4} \, dt=14(2 \sqrt{2} -1)}}

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