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2014-06-09T13:43:07-03:00

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O triângulo tem um ângulo de 90º, outro de 45º e um x

A soma desses ângulos deve ser 180º:

90\º+45\º+x=180\º\\x=45\º

Fazendo o seno de um dos ângulos de 45º:

sen~45\º=l/a\\\sqrt{2}/2=l/a\\a\sqrt{2}=2l\\a=2l/\sqrt{2}\\a=2l\sqrt{2}/2\\a=l\sqrt{2}
_______________________

Achando as projeções dos catetos:

b^{2}=a*m\\l^{2}=l\sqrt{2}*m\\l=\sqrt{2}*m\\m=l/\sqrt{2}

A projeção do outro cateto será igual

n=m=l\sqrt{2}

Calculando a altura relativa à hipotenusa:

h^{2}=m*n\\h^{2}=(l/\sqrt{2})*(l/\sqrt{2})\\h^{2}=(l/\sqrt{2})^{2}\\h=l/\sqrt{2}\\l=h\sqrt{2}

Fazendo o perímetro desse triângulo:

2p=(cat)+(cat)+(hip)\\2p=l+l+l\sqrt{2}\\2p=2l+l\sqrt{2}\\p=(2l+l\sqrt{2})/2\\p=l+(l\sqrt{2}/2)\\p=l+(l\sqrt{2}*\sqrt{2}/[2*\sqrt{2}])\\p=l+(l*2/[2\sqrt{2}])\\p=l+(l/\sqrt{2})

Como l/√2 = h e l = h√2:

p=h\sqrt{2}+h\\p=h(\sqrt{2}+1)\\\\\boxed{\boxed{h=\dfrac{p}{\sqrt{2}+1}}}
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