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2014-06-25T16:29:49-03:00
 \int\ { e^{x}  cox(x) } \, dx

Esta integral indefinida se resolve por partes. Assim, temos que chamar de u a função mais fácil de derivar, e chamar de dv a função mais fácil de integrar. para depois usarmos em:

 \int\ {u } \, dv = u . v -  \int\ {v} \, du

Aqui, seria conveniente fazer: u =  3^{x}  dv = cos(x) dx

Ja temos u e temos dv. Vamos encontrar du e depois  v, para substituir na fórmula acima:

u =  e^{x} \\ du =   e^{x} dx \\  \\ dv = cos(x)dx \\ v =  \int\ {cos(x)} \, dx \\ v = sen(x)

Substituindo na fórmula:

 \int\ {u } \, dv = u . v - \int\ {v} \, du
 \int\ e^{x}cos(x) \, dx  = e^{x}sen(x) -  \int\ {e^{x}sen(x)} \, dx

Nos deparamos com uma nova integral do mesmo tipo, então vamos fazer o mesmo, por partes. Eu recomendo agora utilizar outras letras diferentes de u e v, para não confundir, mas se vc acha que não vai, pode usar as mesmas, mas esteja certo de que agora é para aquela segunda integral.

u =  e^{x} \\ du =  e^{x} dx \\  \\ dv = sen(x)dx \\ v =  \int\ {sen(x)} \, dx  \\ v = - cos(x)

Agora basta fazer o mesmo, substituindo na fórmula. Vamos recopiar tudo que fizemos, ja substituindo a ultima integral (Lembrando que no final de cada integral há uma constante C, mas colocarei apenas no final, para não atrapalhar)

\int\ e^{x}cos(x) \, dx = e^{x}sen(x) - \int\ {e^{x}sen(x)} \, dx \\ \int\ e^{x}cos(x) \, dx = e^{x}sen(x) - [e^{x}(-cos(x)) -  \int\ {-cos(x)e^{x}} \, dx ] \\ \int\ e^{x}cos(x) \, dx = e^{x}sen(x) +e^{x}cos(x) - \int\ {e^{x}cos(x)} \, dx

Note que agora, a integral principal e a ultima são iguais...então podemos "passá-la" para o primeiro membro:

 \int\ e^{x}cos(x) \, dx = e^{x}sen(x) +e^{x}cos(x) - \int\ {e^{x}cos(x)} \, dx \\ \int\ e^{x}cos(x) \, dx + \int\ e^{x}cos(x) \, dx = e^{x}sen(x) +e^{x}cos(x) \\ 2\int\ e^{x}cos(x) \, dx = e^{x}sen(x) +e^{x}cos(x) \\ \int\ e^{x}cos(x) \, dx =  \frac{e^{x}sen(x) +e^{x}cos(x)}{2}  \\ \int\ e^{x}cos(x) \, dx =  \frac{e^{x}}{2}(sen(x) +cos(x)) + C

Portanto, 

\int\ e^{x}cos(x) \, dx = \frac{e^{x}}{2}(sen(x) +cos(x)) + C

Espero ter ajudado. Abraço