Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e hexagonais. Determine o n° de faces hexagonais, sabendo-se que esse poliedro tem 25 arestas e 14 vértices, e que o n° de faces quadrangulares é o dobro do n° de faces triangulares.

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Respostas

A melhor resposta!
2014-06-27T17:59:41-03:00
Questão onde precisa-se saber a relação de Euler e resolver sistemas de equações.

i) Vamos, inicialmente, chamar de T, \ Q e H o número de faces triangulares, quadrangulares e hexagonais desse poliedro, respectivamente; também usemos a notação usual para o número de faces, arestas e vértices (F, \ A e V, respectivamente). A partir do que foi dito na questão temos que

Q=2T

e pela relação de Euler temos o seguinte:

F+V=A+2\\ F+14=25+2\\ F=27-14\\ F=13

Ao contarmos todas as faces triangulares, quadrangulares e hexagonais teremos contado todas as faces. Isso quer dizer que

F=T+Q+H \Rightarrow 13=T+2T+H\\ \\ \boxed{3T+H=13}

ii) Um triângulo tem 3 lados, nenhuma novidade, um quadrilátero possui 4 lados e um hexágono, 6. Contando todos os lados de todas as faces do poliedro encontramos 3T+4Q+6H, então é de se esperar que essa expressão seja igual ao número de arestas do poliedro. Porém, como uma aresta é comum a duas faces, temos que aquela expressão vale, na verdade, 2A. Trocando em miúdos e fazendo a substituição (Q=2T) teremos:

3T+4.2T+6H=2A\\ 3T+8T+6H=2.25\\ \\ \boxed{11T+6H=50}

iii) Agora temos o seguinte sistema de equações:

\left\{\begin{array}{l}3T+H=13\\ \\ 11T+6H=50\end{array}\right.

Como queremos encontrar apenas o valor de H é melhor que multipliquemos a primeira equação por -11 e a segunda por 3. O sistema fica, então:

\left\{\begin{array}{l}3T+H=13\\ \\ 11T+6H=50\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-33T-11H=-143\\ \\ 33T+18H=150\end{array}\right.

Somando as duas equações encontramos

7H=7\\ \\ \boxed{\boxed{H=1}}

Portanto o poliedro possui apenas uma face hexagonal.
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muitissimo obg. ,mto boa sua explicação