Respostas

2014-06-29T21:21:28-03:00
Questão que faz uso das relações de Girard.

i) Façamos E=\dfrac{x'}{x''}+\dfrac{x''}{x'}, onde x' e x'' são as raízes de uma equação ax^2+bx+c=0 qualquer, não vamos nos prender à do exercício. Vamos, inicialmente, escrever E em termos de a, \ b e c

E=\dfrac{x'}{x''}+\dfrac{x''}{x'}\Rightarrow E=\dfrac{(x')^2+(x'')^2}{x'.x''}\\ \\ \mathrm{Podemos \ reescrever \ o \ numerador \ como} \ (x'+x'')^2-2x'.x''. \ \mathrm{Teremos}\\ \\ E=\dfrac{(x'+x'')^2-2x'.x''}{x'.x''}\\ \\ \boxed{E=\dfrac{(x'+x'')^2}{x'.x''}-2}

ii) Usaremos agora as relações de Girard. Caso não se lembre:

\begin{cases}x'+x''=-\dfrac{b}{a}\\ \\ x'.x''=\dfrac ca\end{cases}

Substituindo essas expressões nos "lugares" correspondentes teremos:

E=\dfrac{\left(-\frac ba\right)^2}{\frac ca}-2\\ \\ E=\dfrac{\frac{b^2}{a^2}}{\frac ca}-2\\ \\ E=\dfrac{b^2}{a^2}.\dfrac ac-2\\ \\ \boxed{E=\dfrac{b^2}{ac}-2}

iii) Agora tomemos a equação da nossa questão. Nela temos o seguinte:

\begin{cases}a=m\\ b=-2(m-1)\\ c=m\\ E=4\end{cases}

Substituindo e simplificando teremos:

4=\dfrac{(-2(m-1))^2}{m.m}-2\\ \\ \dfrac{4(m-1)^2}{m^2}=6\\ \\ 4(m^2-2m+1)=6m^2 \ {:2 \atop \Longrightarrow} \ 2(m^2-2m+1)=3m^2\\ 2m^2-4m+2=3m^2\\ m^2+4m-2=0

iv) Agora é só resolver a equação acima e encontrar os possíveis valores de m

\Delta=4^2-4.1.(-2)\Rightarrow \Delta = 16+8\Rightarrow \Delta=24\\ \\ m=\dfrac{-4\pm\sqrt{24}}{2.1}\Rightarrow m=\dfrac{-4\pm\sqrt{4.6}}{2}\\ \\ m=\dfrac{-4\pm2\sqrt6}{2}\\ \\ \boxed{\boxed{m=-4\pm\sqrt6}}
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Desculpa, cara, vi o erro agora: não é -4 na resposta, mas -2!
Poderia editar, mas não dá mais =/ Enfim, vi só agora o erro e desculpa mais uma vez
Tinha feito umas 3 folhas de conta pra tentar resolver esse exercício e não tinha conseguido. Agora posso ver o que eu errei, valeu!!!